Re: Norma euclidea

Messaggioda Sergio » 15/02/2020, 02:29

Leonardo97 ha scritto:Quindi non posso parlare di norma euclidea al di fuori di $\mathbb{R}^n$ poiché non starei più ragionando con n-uple che quindi hanno delle componenti?

Non penso sia cosi...

Guardiamo i seguenti fatti:

Sia $V$ un generico spazio vettoriale finito dimensionale (di dimensione $n$) sul campo $\mathbb{R}$. Sia $B={b_1,...,b_n}$ una sua generica base. ($V$ non è detto che sia $\mathbb{R}^n$, anzi facciamo che sia proprio diverso per nostra ipotesi).

STEP 1:Una funzione del tipo $\langle \rangle : V \times V \to \mathbb{R}^+$ che soddisfa le seguenti proprietà:

$\langle v|w \rangle=\langle w|v \rangle$, $\langle v+u|w \rangle=\langle v|w \rangle+\langle u|w \rangle$, $\langle \lambda v|w \rangle=\lambda \langle v|w \rangle$, $\langle v|v \rangle \ge 0$.

si dice un prodotto scalare definito positivo di $V$. (fin qui d'accordo?)

Sì, tranne che per un punto: hai usato vettori, non hai usato né componenti (ovvio, non trattandosi di $RR^n$), né coordinate. Quindi il riferimento a una base $B$ è pleonastico, è inutile, non c'entra nulla.

Leonardo97 ha scritto:STEP 2:Ora $\langle \rangle : V \times V \to \mathbb{R}^+ | \langle v|w\rangle=v_1w_1+...+v_nw_n$ si verifica facilmente essere un prodotto scalare definito positivo di $V$, dove $v_1,...,v_n$ e $w_1,...,w_n$ sono rispettivamente le coordinate di $v \in V$ e $w \in V$ rispetto alla base $B$. (giusto?)

È solo una tua invenzione.
Un prodotto scalare è un'applicazione, non è una matrice. Solo per le matrici associate servono le coordinate.
Se vuoi definire un prodotto scalare su uno spazio diverso da $RR^n$, prima lo definisci e poi discutiamo.
Vuoi parlare di un prodotto scalare definito positivo su uno spazio di polinomi? Bene. Allora dimmi come devo moltiplicare due polinomi in modo da ottenere come risultato uno scalare, poi vediamo se servono basi e coordinate.
Hint: guarda qui e vedi se si parla di basi o di coordinate.

Leonardo97 ha scritto:STEP 3:Ora, la funzione $||.|| : V \to \mathbb{R}^+ | ||v||=\sqrt{\langle v|v \rangle}=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$ è quindi una norma di $V$ indotta dal sopra definito prodotto scalare definito positivo di $V$.
Ebbene, il valore $||v||=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$ DIPENDE dalla base $B$ scelta, dato che variando $B$ variano le $v_1,...,v_n$.

Quale STEP non ti convince?

Tutti.
Con l'ultimo, poi, da un'apparente semplificazione (quale che sia lo spazio vettoriale, considero solo le coordinate rispetto a una base, cioè una $n$-upla) mi ritrovo alla fine in cima alla torre di Babele: una volta definita una norma, la norma non esiste più perché cambia se cambio base. Utilissimo! Come dire che, una volta definito il metro come misura della lunghezza, la lunghezza di una matita cambia se la tengo in mano o la poggio sulla scrivania, la distanza tra Roma e Milano cambia secondo che vado da Roma verso Milano o viceversa ecc.

Dammi retta, perdi un po' di tempo a esplorare le tante norme che possono essere definite per $n$-uple, polinomi, matrici ecc. Scoprirai che:
a) non tutte si basano su un prodotto scalare;
b) si basano tutte su componenti di $n$-uple, coefficienti di polinomi, elementi di matrici ecc., non su coordinate rispetto a una base - ancor meno rispetto a basi variabili;
c) questo perché l'obiettivo è la definizione di una misura "oggettiva" che dipenda dalle caratteristiche intrinseche di un oggetto (componenti di $n$-uple, coefficienti di polinomi, elementi di matrici ecc.), non da coordinate che possono variare secondo le basi scelte.

E ho anche un sospetto. Quando si inizia a studiare algebra lineare, ci sono esercizi ed esempi basati su spazi $RR^n$ e basi canoniche; se sono un po' troppi, si perde di vista un aspetto fondamenta: le applicazioni (lineari, bilineari, quadratiche ecc., anche i prodotti scalari) operano sempre su componenti di $n$-uple, coefficienti di polinomi, elementi di matrici ecc. È solo quando si ragiona sulle matrici associate alle applicazioni che si deve operare su $n$-uple di coordinate, per il semplice motivo che non è possibile moltiplicare un polinomio per una matrice (va be', in altri contesti si fa), non è possibile moltiplicare una matrice $2\times 2$ per la matrice $4\times 4$ associata a un'applicazione $M_2(RR) to M_2(RR)$ ecc. È solo quando si usano matrici associate che entrano in gioco le coordinate.
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
Avatar utente
Sergio
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 6529 di 6548
Iscritto il: 26/04/2004, 10:56
Località: Roma

Re: Norma euclidea

Messaggioda Leonardo97 » 15/02/2020, 10:31

Sei riuscito a chiarirmi un bel dubbio che inconsciamente mi portavo dietro da un bel po'.

Riassumendo quello che mi hai spiegato: un prodotto salare e/o una norma definiti su un generico spazio vettoriale $V$ non sono ovviamente buoni se dipendono dalla scelta di una base su $V$, cioè se il loro output numerico varia al variare della base scelta.

Dunque, non ha senso definire per uno spazio vettoriale $V$ diverso da $\mathbb{R}^n$ o $\mathbb{C}^n$ un prodotto scalare del tipo: $\langle | \rangle : V \times V \to \mathbb{R} | \langle v|w \rangle=v_1w_1+...+v_nw_n$ dove $v_1,...,v_n,w_1,...,w_n$ rappresentano le coordinate dei due vettori $v$ e $w$ rispetto a una fissata base di $V$, in quanto tale funzione, pur essendo una applicazione bilineare simmetrica definita positiva, dipende dalla base scelta, e questo non va bene.

Di conseguenza non ha nemmeno senso parlare di una norma $||.|| : V \to \mathbb{R}^+ | ||v||=\sqrt{\langle v|v \rangle}=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$ se $V \ne \mathbb{K}^n$ (con $\mathbb{K}$ intendo $\mathbb{R}$ oppure $\mathbb{C}$).

Insomma per fare un esempio concreto, la p-norma $$||.||_p : \mathbb{K}^n \to \mathbb{R}^+ | \quad || (x_1,...,x_n) ||_p=(\sum_{i=1}^n |x_i|^p)^{\frac{1}{p}}$$ non può essere in generale definita in uno spazio vettoriale arbitrario generico diverso da $\mathbb{K}^n$, dato che mancherebbero appunto le famose componenti ($x_1,...,x_n$) di cui parlavi (e che esistono ovviamente solo in $\mathbb{K}^n$).

Sarebbe insomma un errore dire che su $V$ (generico spazio vettoriale finito dimensionale sul campo $\mathbb{R}$) considero la "p-norma"
$$||.||_p : V \to \mathbb{R}^+ | \quad || v ||_p=(\sum_{i=1}^n |v_i|^p)^{\frac{1}{p}}$$
dove $v_1,...,v_n \in \mathbb{R}$ sono le coordinate di $v \in V$ rispetto a una arbitraria base $B$ di $V$.

Giusto?
Grazie mille per il chiarimento!
Per $n$ che va a infinito siamo tutti morti.
Avatar utente
Leonardo97
New Member
New Member
 
Messaggio: 78 di 81
Iscritto il: 20/09/2019, 17:33
Località: Viterbo

Re: Norma euclidea

Messaggioda Sergio » 15/02/2020, 11:05

Leonardo97 ha scritto:Sarebbe insomma un errore dire che su $V$ (generico spazio vettoriale finito dimensionale sul campo $\mathbb{R}$) considero la "p-norma"
$$||.||_p : V \to \mathbb{R}^+ | \quad || v ||_p=(\sum_{i=1}^n |v_i|^p)^{\frac{1}{p}}$$
dove $v_1,...,v_n \in \mathbb{R}$ sono le coordinate di $v \in V$ rispetto a una arbitraria base $B$ di $V$.

E infatti, nel caso di matrici, la p-norma è $||.||_p : V \to \mathbb{R}^+ | \quad || A ||_p=(\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^p)^{\frac{1}{p}}$ dove gli $a_{ij}$ sono gli elementi della matrice $A$.
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
Avatar utente
Sergio
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 6530 di 6548
Iscritto il: 26/04/2004, 10:56
Località: Roma

Re: Norma euclidea

Messaggioda Leonardo97 » 15/02/2020, 11:56

Grazie mille!

Sintetizzando al massimo la morale allora sarebbe: la norma euclidea
\[ || (x_1,...,x_n) ||_2=\sqrt{x_1^2+...+x_n^2} \]
è definita solo per $\mathbb{K}^n$, in quanto si definisce a partire dalle componenti di un n-upla, delle quali non ha senso parlare in spazi vettoriali più generici (i quali possederanno altre norme, ad esempio la norma del sup per lo spazio delle funzioni e via dicendo).
Per $n$ che va a infinito siamo tutti morti.
Avatar utente
Leonardo97
New Member
New Member
 
Messaggio: 79 di 81
Iscritto il: 20/09/2019, 17:33
Località: Viterbo

Re: Norma euclidea

Messaggioda Leonardo97 » 15/02/2020, 22:45

Scusami se chiedo ancora un chiarimento.

Sempre sul Marco Abate, pagina 270, l'osservazione 12.1 (che rimanda all'esercizio 12.1) sembra suggerire che la distanza definita su $\mathbb{R}^2$ dipenda dalla scelta della base fissata. O sbaglio?
Per $n$ che va a infinito siamo tutti morti.
Avatar utente
Leonardo97
New Member
New Member
 
Messaggio: 80 di 81
Iscritto il: 20/09/2019, 17:33
Località: Viterbo

Re: Norma euclidea

Messaggioda Sergio » 16/02/2020, 00:33

Uno dei motivi per cui il libro di Abate non mi piace è proprio questo: passa continuamente da spazi vettoriali a spazi affini, che sono ben diversi, lasciando al lettore il compito di districarsi.

Uno spazio euclideo è un caso particolare di spazio affine. Uno spazio affine non è un insieme di vettori, ma è un insieme di punti dotato di un'applicazione che mappi coppie di punti in vettori, che vengono detti vettori applicati: \(\overrightarrow{PQ}\mapsto v\), $v$ è applicato ("ancorato") in $P$. Inoltre, fissando un punto $O$ e una base $\{v_1,...,v_n\}$ dello spazio di quei vettori, per ciascun punto $P$ si ha $P=O+t_1v_1+...+t_nv_n$, dove i coefficienti $t_i$ vengono detti coordinate affini di $P$. Tutto è definito in termini di coordinate ed è chiaro che cambiando il sistema di coordinate le distanze cambiano.

Uno spazio euclideo è anche un caso particolare di spazio metrico. Sono spazi metrici anche gli spazi vettoriali dotati di norma, per i quali vale quando abbiamo detto finora: la norma non dipende dalla base. Tanto per farti un altro esempio, per le matrici esiste una norma spettrale definita da \(\lVert A\rVert=\sqrt{\lambda_{max}}\), dove $\lambda_{max}$ è l'autovalore massimo di $A^TA$ (nel caso reale) e, come ben noto, gli autovalori non dipendono dalla base.

Non sono mondi separati. È possibile definire una struttura di spazio affine (punti e una funzione da coppie di punti a vettori) in uno spazio vettoriale $V$, detto in questo caso "affine su se stesso" e indicato con $V_a$. Se lo spazio vettoriale è $RR^n$, lo spazio $(RR^n)_a$ viene detto n-spazio affine numerico su $RR$. Se il sistema di riferimento affine usa la base canonica, distinguere uno spazio affine numerico dallo spazio vettoriale $RR^n$ è praticamente impossibile, ma le differenze sotto sotto rimangono.

E comunque, proprio perché queste differenze esistono, lo stesso Abate in primo luogo precisa che si sta muovendo in \(\mathcal{A}^2\), non in $RR^2$, e che occorre un idoneo sistema di riferimento affine "per poter lavorare in $RR^2$". Poi, nell'osservazione 12.1, sottolinea che se cambi il sistema di riferimento - se non è più quello idoneo a lavorare in \(\mathcal{A}^2\) come se fosse $RR^2$ - "questa distanza non sarebbe stata quella euclidea". Ma se la definizione di distanza cambia, è chiaro che cambiano anche le distanze.
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
Avatar utente
Sergio
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 6532 di 6548
Iscritto il: 26/04/2004, 10:56
Località: Roma

Re: Norma euclidea

Messaggioda Leonardo97 » 16/02/2020, 10:58

Chiarissimo grazie.
Per $n$ che va a infinito siamo tutti morti.
Avatar utente
Leonardo97
New Member
New Member
 
Messaggio: 81 di 81
Iscritto il: 20/09/2019, 17:33
Località: Viterbo

Precedente

Torna a Geometria e algebra lineare

Chi c’è in linea

Visitano il forum: john_titor20, Sergio e 11 ospiti