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solaàl ha scritto:La prima cosa implica che \([\mathfrak{sl}(2),\mathfrak{sl}(2)] = \mathfrak{sl}(2)\), e quindi ogni matrice a traccia nulla è il commutatore di qualcuno (di matrici che si possono scegliere a traccia nulla).

Puoi ricordarmi cosa indica \([\mathfrak{sl}(2),\mathfrak{sl}(2)]\) ? Credo sia l'ideale generato dai commutatori, e non l'insieme dei commutatori. Se è così il fatto che sl(2) è semisemplice non implica che ogni suo elemento è un commutatore, o sbaglio?

Sì, è l'ideale generato dai commutatori; questo dimostra che ogni matrice a traccia nulla è combinazione lineare di commutatori.

Bisognerebbe però vedere come si dimostra che \(\mathfrak{sl}(2)\) è semisemplice. Immagino che sia grosso modo la stessa cosa che risolvere questo esercizio.

No, si tratta di poche righe http://relaunch.hcm.uni-bonn.de/fileadm ... chap10.pdf

dissonance ha scritto:Bisognerebbe però vedere come si dimostra che \(\mathfrak{sl}(2)\) è semisemplice. Immagino che sia grosso modo la stessa cosa che risolvere questo esercizio.

No perché $sl2$ contiene matrici $2 xx 2$, mentre l'esercizio proposto dall'OP riguarda matrici $n xx n$ con $n$ qualsiasi.

Siccome vedo che la questione originale è caduta nel vuoto (perché se uno sa già che $sl(n)$ è semisemplice allora l'argomento diventa un po' del tipo "è vero perché è vero"), vorrei almeno rispondere alla domanda con qualche dettaglio

frankardius ha scritto:“Sia $ mathbb(K) $ un campo di caratteristica zero. Dimostrare che una matrice quadrata a coefficienti in $ mathbb(K) $ ha traccia nulla se e solo se la si può scrivere come combinazione lineare di matrici del tipo AB-BA.”

Sia $A$ una matrice $n xx n$ di traccia nulla. Indicando con $E(i,j)$ la matrice $n xx n$ che ha $1$ nella posizione $(i,j)$ e $0$ altrove abbiamo ovviamente che (gli indici nelle sommatorie vanno sempre da $1$ a $n$)

$A=sum_{i,j} a_{ij}E(i,j)$

dove $a_{ij}$ è l'elemento del campo $K$ che appare nella posizione $(i,j)$ della matrice $A$, e il fatto che $A$ ha traccia nulla si traduce nel fatto che

$sum_i a_{ii} = 0$

Ora, è chiaro che possiamo scrivere

$A = B+C$

dove

$B=sum_{i ne j} a_{ij}E(i,j)$
$C=sum_i a_{ii}E(i,i)$

Siamo quindi ridotti a dimostrare che $B$ e $C$ sono combinazioni lineari di matrici del tipo $XY-YX$ (dove $X,Y$ sono matrici $n xx n$).

Cominciamo con $B$.

Siccome $B=sum_{i ne j} a_{ij}E(i,j)$ basta mostrare che le matrici $E(i,j)$, dove $i ne j$, sono del tipo $XY-YX$, ma questo segue dall'identità (facile da dimostrare)

$E(i,j)=E(i,j)E(j,j)-E(j,j)E(i,j)$

(che - ATTENZIONE - è falsa se $i=j$).

Se qualcuno avesse dubbi su come si mostra questa identità ricordo che:



Ora passiamo a $C$.

Qui abbiamo $C=sum_i a_{ii}E(i,i)$ ma stavolta abbiamo una condizione sui coefficienti, $sum_i a_{ii}=0$, cioè \( \displaystyle a_{nn}=-\sum_{i=1}^{n-1} a_{ii} \) . Segue che

$C=sum_{i=1}^{n-1} a_{ii} (E(i,i)-E(n,n))$.

Siamo quindi ridotti a mostrare che le matrici $E(i,i)-E(j,j)$ sono del tipo $XY-YX$.

Questo segue immediatamente dal fatto che

$E(i,j)E(j,i)=E(i,i)$

(che si dimostra usando il procedimento indicato nello spoiler sopra)

da cui segue che

$E(i,i)-E(j,j) = E(i,j)E(j,i)-E(j,i)E(i,j)$

Non ho usato da nessuna parte che $K$ ha caratteristica zero, quindi l'ipotesi "$K$ ha caratteristica zero" è superflua.

se uno sa già che \(\mathfrak{sl}(n)\) è semisemplice allora l'argomento diventa un po' del tipo "è vero perché è vero"