sistema

[Tex87]

Si ma qual'è la matrice diagonalizzata una volta accertato che essa è diagonalizzabile?

[Camillo]

Calcola gli autovalori della matrice $ lambda_1 , lambda_2 $ ; la matrice diagonale simile a quella data sarà :

$((lambda_1,0),(0,lambda_2))$

[Tex87]

Praticamente bisogna mettere solo gli autovalori sulla diagonale principale e ovviamente,in quanto matrice diagonale,deve avere elementi nulli al di fuori della diagonale principale!!!

Giusto?

[Tex87]

Siccome gli autovalori della matrice sopra indicata sono:

$lambda_1=4-sqrt{5}
$ lambda_2=4+sqrt{5}

la matrice diagonalizzata dovrebbe essere:

$((4-sqrt{5},0),(0,4+sqrt{5}))$

esatto?

P.s. cmq il mio esercizio completo era di diagonalizzare la seguente forma quadratica:

$9x_1^2-4x_1x_2+25x_2^2$

potreste controllare se è tutto corretto cortesemente vi ringrazio tantissimo,mi scuso se vi sto scocciando ma ho delle fotocopie sull'argomento dove per capire qualcosa ce ne vuole!!!!

GRAZIE!!!!!!!

[Eredir]

Siccome gli autovalori della matrice sopra indicata sono:

$lambda_1=4-sqrt{5}
$ lambda_2=4+sqrt{5}

la matrice diagonalizzata dovrebbe essere:

$((4-sqrt{5},0),(0,4+sqrt{5}))$

esatto?

Tutto giusto.
Volendo puoi verificarlo cercando il cambio di coordinate che trasforma la matrice iniziale in quella diagonale.

[Tex87]

Ti ringrazio tanto Eredir!!!!

Mi puoi spiegare con qualke esempio come faccio a verificare la correttezza dell'esercizio?


GRAZIE ANCORA!!!!!!

[Eredir]

Mi puoi spiegare con qualke esempio come faccio a verificare la correttezza dell'esercizio?

Devi innanzitutto trovare la matrice del cambiamento di base.
Per fare questo scrivi le equazioni dei due autospazi corrispondenti agli autovalori che hai trovato.

Per $lambda_1=4-sqrt(5)$ ottieni $((3-(4-sqrt(5)),-2),(-2,5-(4-sqrt(5))))((x),(y))=((0),(0))$.
Questo autospazio è di dimensione 1 ed una possibile base è data dal vettore $v_1 = ((1/2(1+sqrt(5))),(1))$.

Similmente per $lambda_2=4+sqrt(5)$ una possibile base è data dal vettore $v_2 = ((1/2(1-sqrt(5))),(1))$.

A questo punto, assumendo che la base della matrice iniziale sia quella canonica, la matrice del cambiamento di base è data da $C = ((1/2(1+sqrt(5)),1/2(1-sqrt(5))),(1,1))$.

Quindi sfruttando la relazione di similitudine puoi scrivere $D = C^(-1)AC$, dove $A$ è la matrice da cui sei partito.
Se hai fatto tutto bene dovresti ottenere la matrice diagonale $D$ ottenuta mediante il calcolo degli autovalori.

[Tex87]

Eredir scusa un'altra cosa che non so come risolvere(sempre per il problema dell'incomprensibilità delle fotocopie) è la seguente:

Data la matrice

$((2,4),(4,3))$

si determini la fattorizzazione derivante dal teorema spettrale, verificando la correttezza del risultato!!!!

Mi puoi spiegare in maniera semplice di cosa si tratta????


GRAZIE!!!!

[Tex87]

Qualcuno mi può aiutare???

[Eredir]

si determini la fattorizzazione derivante dal teorema spettrale, verificando la correttezza del risultato!!!!

Mi puoi spiegare in maniera semplice di cosa si tratta????

Mi dispiace, ma non so cosa si intende per fattorizzazione derivante dal teorema spettrale.