C'è qualcuno che sa cosa significa? E se si come si risolve???
GRAZIE!!!!
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da Camillo » 05/09/2006, 17:32
Ecco un sommario relativo al Teorema spettrale.
Come già detto in altro post, le matrici simmetriche ad elementi reali sono diagonalizzabili.
Inoltre la matrice diagonalizzante è ortogonale.
Pertanto, l'azione della matrice può essere decomposta nella somma di proiezioni sui singoli autospazi.
Questa è l'essenza del teorema spettrale.
La decomposizione spettrale della matrice a è data da :
$ A = lambda_1*x_1*x_1^T +lambda_2*x_2*x_2^T +...+lambda_n*x_n*x_n ^T .$ (1)
essendo :
* $lambda_1...lambda_n $ gli autovalori della matrice
* $x_1...x_n $ le colonne della matrice diagonalizzante
* $x_i ^T $ la matrice trasposta di $ x_i $.
* le matrici $x_i*x_i^T $ rappresentano le proiezioni unidimensionali ( ognuna di queste matrici trasforma un vettore b nella sua proiezione $ p_i $ lungo la direzione $ x_i $ , essendo $p_i =x_i*(x_i^T*b) $.
Quindi il teorema spettrale (1) esprime A come combinazione lineare delle proiezioni unidimensionali rappresentate dalle matrici $ x_i*x_i^T$.
Applichiamo il teorema spettrale al caso $ A = ((2,4),(4,3)) $ , matrice chiaramente simmetrica.
Calcoliamo gli autovalori della matrice che sono : $ lambda_1 = (5+sqrt(65))/2; lambda_2 = ( 5-sqrt(65))/2 $.
Adesso si cerca una base di vettori ortogonali , e si ottiene :
$x_1 = (1,(1+sqrt(65)/8)) $ ; $x_2 = (1, (1-sqrt(65)/8))$ .
I due vettori vanno adesso normalizzati ( il che comporta calcoli onerosi stranamente ...)
Chaimo ancora $ x_1, x_2 $ i nuovi vettori normalizzati .
Quello che adesso va verificato , in accordo col teorema spettrale è che la matrice A risulti uguale a : $lambda_1*x_1*x_1^T +lambda_2*x_2*x_2^T$ e anche per questo ci sono un bel pò di calcoli..... e mi fermo qui.
Come già detto in altro post, le matrici simmetriche ad elementi reali sono diagonalizzabili.
Inoltre la matrice diagonalizzante è ortogonale.
Pertanto, l'azione della matrice può essere decomposta nella somma di proiezioni sui singoli autospazi.
Questa è l'essenza del teorema spettrale.
La decomposizione spettrale della matrice a è data da :
$ A = lambda_1*x_1*x_1^T +lambda_2*x_2*x_2^T +...+lambda_n*x_n*x_n ^T .$ (1)
essendo :
* $lambda_1...lambda_n $ gli autovalori della matrice
* $x_1...x_n $ le colonne della matrice diagonalizzante
* $x_i ^T $ la matrice trasposta di $ x_i $.
* le matrici $x_i*x_i^T $ rappresentano le proiezioni unidimensionali ( ognuna di queste matrici trasforma un vettore b nella sua proiezione $ p_i $ lungo la direzione $ x_i $ , essendo $p_i =x_i*(x_i^T*b) $.
Quindi il teorema spettrale (1) esprime A come combinazione lineare delle proiezioni unidimensionali rappresentate dalle matrici $ x_i*x_i^T$.
Applichiamo il teorema spettrale al caso $ A = ((2,4),(4,3)) $ , matrice chiaramente simmetrica.
Calcoliamo gli autovalori della matrice che sono : $ lambda_1 = (5+sqrt(65))/2; lambda_2 = ( 5-sqrt(65))/2 $.
Adesso si cerca una base di vettori ortogonali , e si ottiene :
$x_1 = (1,(1+sqrt(65)/8)) $ ; $x_2 = (1, (1-sqrt(65)/8))$ .
I due vettori vanno adesso normalizzati ( il che comporta calcoli onerosi stranamente ...)
Chaimo ancora $ x_1, x_2 $ i nuovi vettori normalizzati .
Quello che adesso va verificato , in accordo col teorema spettrale è che la matrice A risulti uguale a : $lambda_1*x_1*x_1^T +lambda_2*x_2*x_2^T$ e anche per questo ci sono un bel pò di calcoli..... e mi fermo qui.
Camillo
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da Eredir » 06/09/2006, 11:23
Tex87 ha scritto:Ma come fai a trovare una base di vettori ortogonali?
Segue dal teorema spettrale che gli autospazi di un operatore simmetrico sono tra loro ortogonali.
Ti basta quindi prendere un vettore da ciascun autospazio per avere una base ortogonale.
Problem:
To Catch a Lion in the Sahara Desert.
The Schrödinger method:
At every instant there is a non-zero probability of the lion being in the cage. Sit and wait.
To Catch a Lion in the Sahara Desert.
The Schrödinger method:
At every instant there is a non-zero probability of the lion being in the cage. Sit and wait.
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da Eredir » 06/09/2006, 14:19
Tex87 ha scritto:Eredir scusa puoi spiegarti meglio magari con qualke esempio?
Fondamentalmente sono i passaggi che ti ho scritto per l'esercizio precedente.
1) Trovi gli autovalori della matrice.
2) Scrivi le equazioni degli autospazi (ad ogni autovalore corrisponde un autospazio).
3) Prendi un vettore appartenente ad ogni autospazio e hai la tua base ortogonale.
Problem:
To Catch a Lion in the Sahara Desert.
The Schrödinger method:
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