provo a risponderti.
Un sistema lineare è composto da m equazioni ed n incognite e chiamiamo matrice incompleta quella i cui coefficienti sono i coefficienti delle incognite mentre chiamiamo matrice completa quella appena esposta con l'aggiunta del vettore colonna relativo ai termini noti, ossia , i risultati di ciascuna equazione.
Il teorema di Cramer ci dice se un sistema lineare quadrato ammette soluzione ed in tal caso essa sarà unica sse rango di A = n (ordine della matrice), il detA <> 0 ed A è invertibile.
Per il metodo di eliminazione di Gauss ti consiglio di andare a vedere questo documneto molto chiaro
http://www.dma.unifi.it/~caressa/esercitazioni/es7.pdf
Il teorema di rouchè-capelli ci dice che il sistema lineare è compatibile, quindi ha soluzione, sse il rango della matrice incompleta è uguale a quello della matrice completa.
Per la regola di laplace dobbiamo capire prima come si calcola il complemento algebrico di ogni coefficiente di una matrice.
sia a (il coefficiente alla riga i-esima e colonna j-esima) il suo complemento algebrico sarà ((-1)^(i+j))* determinante della matrice tolta la i-esima riga e la j-esima colonna.
Quindi per calcolare il determinante di una matrice quadrata si puo sviluppare il teorema di laplcae per riga o per colonna.
Si prende la riga o colonna (per velocizzare i calcoli) con più zeri, ma cmq se ne può scegliere una qualsiasi, e il determinate sarà (supponiamo abbiamo scelto una riga)
a(ij) significa elemento alla i-esima riga j-esima colonna
A(ij) significa complememnto algebrico dell'elemento alla i-esima riga j-esima colonna
quindi, sarà, avendo scelto la i-esima riga:
det A = (a(i1)*A(i1)) + ............. + (a(in)*A(in))
ciao