Esercizio di Geometria

[carmelo81]

Sono dati il punto $A-=(4/3,-2/3,0)$ e le rette $r:{(x-y=0),(z=1):} s:{(x=1),(y+z=0):}$
Determinare la retta $t$ passante per $A$ ed incidente ad $r$ e ad $s$.
Detti $R=tnnr, S=tnns$ verificare che $barRbarS = d(r,s)$

Sareste cosi gentili da farmi vedere lo svolgimento?
Grazie mille
Carmelo

[karl]

Le rette r ed s non passano per A e sono sghembe tra loro.
Pertanto la retta t richiesta e' l'intersezione di due piani:
il piano $alpha$ determinato da A e da r ed il piano $beta$
determinato da A e da s.
Ora la retta r e' il sostegno del fascio di piani:
$x-y+lambda(z-1)=0$ ed imponendo il passaggio per A si ha $lambda=2
e quindi il piano $alpha $ e':
$(alpha)->x-y+2z=2$
Analogamente la retta s e' il sostegno del fascio di piani:
$mu(x-1)+y+z=0$ ed imponendo il passaggio per A si ha $mu=2$
e quindi il piano $beta $ e':
$(beta)->2x+y+z=2$
La retta t richiesta e' allora :
$((x-y+2z=2),(2x+y+z=2))$
Oppure in forma normale:
$(x-4//3)/1=(y+2//3)/(-1)=z/(-1)$
Ed infine in forma parametrica:
$((x=t+4/3),(y=-t-2/3),(z=-t))$
Per t=-1 si ha $R(1/3,1/3,1)$,mentre per $t=-1/3$ si ha $S(1,-1/3,1/3)$
Non ho capito che si deve fare con R ed S perche' non decifro la notazione $bar(R)bar(S)$
karl

[gandelf]

qualcuno sa come si possa risolvere il problema simile:
determinare le eq delle rette che giaciono sul piano a: x+y+z=1 e che incidono entrambe le rette r:{x=0,2x+y=0} ed s:{z=0.x+y=1}

[gandelf]

help pls... mancano ancora circa 10 ore per l'esame

[karl]

Sia $alpha$ il piano dato.La retta r incide $alpha$ nel punto
A( 0,0,1) e non appartiene ad esso.Invece e' facile verificare
che s appartiene ad $alpha$.
Pertanto le rette richieste sono le intersezioni di $alpha$
con i piani del fascio $Phi$ di sostegno la retta r e passanti
per qualche punto di s .Ora il fascio $Phi$ e' :
$lambdax+muy=0$ mentre il generico punto di s e' (t,1-t,0);
Sostituendo in $Phi$ risulta $mu=(lambdat)/(t-1)$ e dunque
$Phi:(t-1)x+ty=0$.
In conclusione le rette richieste,al variare di t, sono:
$((x+y+z=1),((t-1)x+ty=0))$
karl

[gandelf]

ciao karl e grazie mille per la risposta. Non ho capito però come s possa appartenere al piano se l'intersezione tra il piano ed s mi da (1,0,0)

[karl]

Il punto (1,0,0) non e' l'unico punto di s che appartiene ad $alpha$:anche
tutti gli altri punti di s vi appartengono.Infatti il generico punto di s
si puo' mettere nella forma (t,1-t,0) e sostituendo nell'equazione di $alpha$
si ha: t+1-t+0=1 ovvero identicamente 1=1.Cio' significa che qualunque sia t,
ovvero qualunque sia il punto di s,quest'ultimo appartiene ad $alpha$ e dunque
s stessa giace completamente in $alpha$.
Karl.
P.S. Temo che la risposta sia arrivata tardi:ormai le 10 ore son belle e passate!

[gandelf]

ah ok, purtroppo un pò tardi ma nn fa nulla, grazie 1000 lo stesso