Raggio Spettrale e Matrici Inverse

[Rael]

Ok ragazzi, una domandina semplice semplice:

se ||A|| < 1 (supponiamo a sia una matrice reale quadrata qulunque, e ||.|| è la norma di operatore, norma 2 di una matrice)
allora so per certo che esiste l'inversa di (I-A), con I = Matrice Identità... ma come dimostrarlo ?
.

Grazie in anticipo per il vostro tempo !

[david_e]

Sia $x \in \RR^n$ allora:

$ x^T ( I - A ) x = || x ||^2 - x^T A x $

ora:

$ | x^T A x | \leq || A || || x ||^2 < || x ||^2 $

quindi:

$ x^T ( I - A ) x > 0 \qquad \qquad \forall x \ne 0 $

questo significa che $I-A$ è invertibile.

[Rael]

Grazie !
carina, io ne avevo trovata un altra nel frattempo ma questa è davvero semplice ... ora però come mai nel primo passo metti $ x^T ( I - A ) x $... cosa rappresenta esattamente $ x^T ( I - A ) x $ ??? ...

[david_e]

Beh chiaramente:

$ x^T B x > 0 \qquad x \ne 0 \implies B x \ne 0 $
(si noti che non vale il viceversa!)

se $ B x \ne 0 $ per ogni $x \ne 0$ allora il kernel di $B$ contiene il solo $0$ e quindi la matrice è invertibile.

Quanto al significato di:

$ y^T B x $

con $y$ eventualmente uguale a $x$ non saprei che significato dargli!

È una specie di "forma quadratica". In effetti le matrici possono anche essere interpretate come forme bilineari su $RR^n$:

$ b(x,y) = y^T B x $

per il resto però non saprei come interpretarlo. (non è necessariamente un prodotto scalare visto che niente garantisce che $B$ sia hermitiana a priori...)