spazio quoziente di uno spazio vettoriale

[vl4d]

come al solito, mi serve una conferma:
sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$ e sia $W$ un sottospazio di $V$. $W$ sara' un gruppo abeliano, dunque in forma additiva costruiamo lo spazio quoziente di $W$: $V$/$W={v + W | v in V}$ che come e' noto e' l'insieme della classi laterali di $W$ al variare di $v$ in $V$. Bon, adesso definisco un prodotto scalare sul nuovo insieme: $forall alpha in K, v in V$ abbiamo $alpha(v + W) = alpha v + W$

Mostrare che l'operazione e' ben definita.

Allora, voglio far vedere che se $v+W=v'+W$ allora $alpha v + W = alpha v' + W$. Se $v+W=v'+W$ significa che $forall v in V,w_{1} in W \exists v', w_{2}$ tali che $v + w_{1} = v' + w_{2} iff v-v' = w_{2} - w_{1}$ e dato che W e' un gruppo vale la chiusura dunque $v-v' in W$. Dunque $alpha v - alpha v' = alpha (v-v') in W$ ma allora $\exists w_{3},w_{4} : alpha v - alpha v' = w_{3} - w_{4}$ da cui $alpha v + w_{4} = alpha v' + w_{3}$ e quindi avremmo la tesi.

Puo' andare?

[ficus2002]

Allora, voglio far vedere che se $v+W=v'+W$ allora $alpha v + W = alpha v' + W$. Se $v+W=v'+W$ significa che $forall v in V,w_{1} in W \exists v', w_{2}$ tali che $v + w_{1} = v' + w_{2} iff v-v' = w_{2} - w_{1}$ e dato che W e' un gruppo vale la chiusura dunque $v-v' in W$. Dunque $alpha v - alpha v' = alpha (v-v') in W$ ma allora $\exists w_{3},w_{4} : alpha v - alpha v' = w_{3} - w_{4}$ da cui $alpha v + w_{4} = alpha v' + w_{3}$ e quindi avremmo la tesi.

Puo' andare?

Si, è tutto corretto.
Solo un'osservazione: è $v+W=v'+W$ se e solo se esiste $w\in W$ tale che $v-v'=w$, ossia $v+W=v'+W$ se e solo se $v-v'\in W$.

[vl4d]

evviva. grazie