2 esercizi da risolvere

[Ing]

Ciao a tutti !
Vorrei il vostro aiuto riguardo a 2 problemi :

1) Confronto tra esponenziali con esponete frazionario :
Chi e piu grande : 3 alla 7/4 oppure 7 alla 4/3 ??????'


2) Dimostrare che R* (.) non e un gruppo ciclico

Grazie !

[Bruno]

1) Confronto tra esponenziali con esponete frazionario :
Chi e piu grande : 3 alla 7/4 oppure 7 alla 4/3 ??????

La prima è minore della seconda.
Per verificarlo, infatti, si potrebbe fare così:

3^(7/4) < 3^(8/4) = 3^2 < 6^(4/3) < 7^(4/3)

Ora, dividendo per 3^(4/3) entrambi i membri della
disuguaglianza centrale, si ottiene:

3^(2-4/3) = 3^(2/3) < 2^(4/3)

da cui vien subito:

3^2 = 9 < 2^4 = 16 .

Riguardo all'altra domanda, per il momento passo la
palla: c'è chi può trattare la cosa molto meglio di me...

Ciao!

[ficus2002]

2) Dimostrare che R* (.) non e un gruppo ciclico

Se $(RR^xx;*)$ fosse ciclico allora ogni suo sottogruppo non banale sarebbe infinito. Ciò contraddice il fatto che ${+1,-1}$ è un sottogruppo non banale e finito di $(RR^xx;*)$.

EDIT: vedi post successivo; invece che infinito avevo scritto ciclico

[Ing]

Grazie ragazzi per le vostre risposte !

Ma non mi è chiara una cosa riguardo al 2° problema : Dove sta la contradizione ?
Vuoi dire che il sottogruppo di (1 ,-1) rispeto al prodotto (*) non e ciclico ? A me sembra di si . Ti chiedo gentilmente se ti puoi spiegare meglio .


Un ultimo esercizio : Dimostrare che la radice cubica di 4 è un numero irrazionale .
Grazie di nuovo !

[ficus2002]

Ma non mi è chiara una cosa riguardo al 2° problema : Dove sta la contradizione ?
Vuoi dire che il sottogruppo di (1 ,-1) rispeto al prodotto (*) non e ciclico ? A me sembra di si . Ti chiedo gentilmente se ti puoi spiegare meglio .

Scusa, ho sbagliato a scrivere; edito subito!

[goldengirl]

Un ultimo esercizio : Dimostrare che la radice cubica di 4 è un numero irrazionale .
Grazie di nuovo !

Si potrebbe sfruttare la proposizione in cui si dimostra che $sqrt2$ è irrazionale?
ovvero che non esiste alcun numero razionale $q=m/n$ tale che $q^2=m^2/n^2=2$?

[ficus2002]

Un ultimo esercizio : Dimostrare che la radice cubica di 4 è un numero irrazionale .
Grazie di nuovo !

Supponiamo che $root{3}{4}$ sia razionale ossia $root{3}{4}=m/n$ con $m,n\in ZZ$ coprimi.
Si avrebbe $4n^3=m^3$ da cui si deduce che $4|m^3$. Dunque $2|m$ pertanto $2^3|m^3$. Ma allora, dall'uguaglianza $4n^3=m^3$, si deduce che $2^3|4n^3$ il quale implica $2|n$. Ciò contraddice l'ipotesi che $m,n$ sono coprimi.

[Ing]

Scusa se insisto , ma e vero che : ogni sottogruppo di un gruppo ciclico infinito , è infinito ?
Ce qualche teorema che lo dice ?
Grazie!

[Ing]

Un ultimo esercizio : Dimostrare che la radice cubica di 4 è un numero irrazionale .
Grazie di nuovo !

Supponiamo che $root{3}{4}$ sia razionale ossia $root{3}{4}=m/n$ con $m,n\in ZZ$ coprimi.
Si avrebbe $4n^3=m^3$ da cui si deduce che $4|m^3$. Dunque $2|m$ pertanto $2^3|m^3$. Ma allora, dall'uguaglianza $4n^3=m^3$, si deduce che $2^3|4n^3$ il quale implica $2|n$. Ciò contraddice l'ipotesi che $m,n$ sono coprimi.

Non mi sembra giusto questo passaggio

[Bruno]

Ciao, Ing.
Il ragionamento di Ficus è invece corretto.
Se, per ipotesi, abbiamo 4n³=m³ e (n,m)=1 (il loro
massimo comun divisore), vuol dire che anche a
destra dobbiamo avere un numero pari, quindi
pari dev'essere la base m (m non può essere
dispari perché moltiplicando fra loro dei numeri
dispari si ottengono sempre dei numeri dispari...).
Però n ed m non possono essere entrambi pari,
perché in tal caso non sarebbero primi fra loro.
Se m è pari, pertanto, n è dispari.
Riprendendo l'uguaglianza ipotizzata, 4n³=m³, ci
ritroviamo allora:
. a destra, un multiplo di 8 = 2³
. a sinistra, un multiplo di 4 ma non di 8
ciò che non può essere vero, naturalmente.