vettori

Messaggioda luca23 » 18/01/2004, 19:33

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Ciao, help me.... qualcuno di voi mi dà qualche dritta su vettori e sottospazio....ho questi esercizi che vorrei comprendere.

Grazie raga

1) dati i vettori

v1= (1,a,a)
v2= (a,1,a)
v3= (a,a,1)

come si dimostra la linearità indipendente per ogni valore di a?
e perchè per a=-1 formano base R^3?



2)dati i vettori
v1=(1,2,1)
v2=(2,-1,2)
v3=(1,1,a)

come si dimostra che i tre vettori sono linearmente indipendenti per ogni valore REALE di a
e che v3 appaartiene al sottospazio R^3 (generato ovviamente da v1 v2) solo se a =1
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Messaggioda karl » 18/01/2004, 22:06

Sei sicuro che ,in entrambi gli esercizi,i vettori
sono riportati esattamente?
Saluti.
Karl.
karl
 

Messaggioda luca23 » 18/01/2004, 22:51

sono vettori colonna quindi si scriverebbero correttamente:

1)
v1 =
|1|
|2|
|1|


V2=
|2 |
|-1|
|2 |


V3=
|1|
|1|
|a|

come si dimostra che i tre vettori sono linearmente indipendenti per ogni valore REALE di a
e che v3 appaartiene al sottospazio R^3 (generato ovviamente da v1 v2) solo se a= 1

2)dati i vettori
v1=
|1|
|A|
|A|

V2=
|A|
|1|
|A|

v3=

|A|
|A|
|1|


come si dimostra la linearità indipendente per ogni valore di a?
e perchè per a=-1 formano base R^3?

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Messaggioda karl » 18/01/2004, 23:50

2° Esercizio del primo post.
la matrice delle componenti dei tre vettori
e':
1 2 1
2 -1 1
1 2 a
il cui determinante e' 5-5a.Ne segue che
per a diverso da 1 i tre vettori sono linearmente
indipendenti (e non per tutti i valori di a;ecco
perche' chiedevo se l'enunciato fosse esatto)
Invece per a=1 ,la matrice ha determinante nullo
e rango =2 da cio' scaturisce che uno dei tre
vettori,per es v3,e' combinazione lineare degli altri
due e dunque esso appartiene al sottospazio da questi
ultimi generato.
1° es
La matrice delle componenti dei tre vettori e':
1 a a
a 1 a
a a 1
il cui determinante e':2a^3-3a^2+1.
Esso determinante si annulla quando 2a^3-3a^2+1=0.
Risolta l'equazione si ha a1=a2=1,a3=-1/2.
Per questi valori i tre vettori non sono linearmente
indipendenti perche' la matrice ha determinante nullo
e quindi rango<3.
Invece per a =-1 la matrice ha determinante
non nullo e quindi i tre vettori sono linearmente indipendenti
ed siccome essi sono in numero di tre, cioe'
nel numero massimo consentito da R^3,rappresentano una base
di R^3 vale a dire che ogni vettore di R^3 puo' essere
rappresentato come combinazione lineare della terna (v1,v2,v3).
karl.
karl
 

Messaggioda luca23 » 19/01/2004, 00:52

grazie ora mi è più chiaro, bye
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