Geometria

[Ene@]

Determinare le traiettorie ortogonali dei circoli che hanno il centro sull'asse delle $x$ e che sono tangenti all'asse delle $y$.

[Ene@]

nessuno si accinge a farlo?

[karl]

Le circonferenze appartengono al fascio determinato dalla circonferenza
di centro O(0,0) e raggio nullo e dall'asse y.Pertanto l'equazione di detto
fascio e':
$x^2+y^2-2lambdax=0$ di centro U e raggio pari a $U(lambda,0),R=lambda
Derivando implicitamente rispetto ad x si ha;
$x+yy'-lambda=0$ da cui:$y'=(lambda-x)/y$
Pertanto le traiettorie cercate si ottengono integrando l'equazione:
$y'=-y/(lambda-x)$ da cui ,separando le variabili, si ottiene:
$(dy)/y=1/(x-lambda)dx$ ed integrando:
$y=+-C(x-lambda)$
Le traiettorie sono,per ogni circonferenza del fascio, le rette passanti per
il centro di essa.Come del resto e' gia noto.
karl

[Ene@]

Io l'ho risolto così:


L'equazione di questi circoli è : $(x-lambda)^2+y^2=lambda^2$,

dove $lambda$ è l'ascissa (variabile) del centro dei circoli.

Eliminando il parametro $lambda$ tra le due equazioni:


$(x-lambda)^2+y^2=lambda^2,2(x-lambda)y'-2y=0$.

Si ottiene l'equazione differenziale omogenea: $2xydx+(y^2-x^2)dy=0$, il cui integrale generale è:

$x^2+(y-c)^2=c^2$.


Chi ha ragione?

[karl]

L'rquazione dei circoli e' la medesima che ho scritto io.
Quella che non vedo e' la condizione di ortogonalita'
che si scrive (come per rette) $y'_1*y_2'=-1$.
Cio' non toglie che abbia potuto sbagliare io.
Non hai il risultato ?
karl

[Ene@]

Non ho il risultato ma la regola dice che :

"l'equazione differenziale delle traiettorie ortogonali alle curve della famiglia $F(x,y,lambda)=0$,si ottiene eliminando il parametro $lambda$ fra le due equazioni:

${(F(x,y,lambda)=0),(F'_x(x,y,lambda)*y'-F'_y(x,y,lambda)=0):}$


Se ho applicato esattamente tale regola penso di avere ragione io.

[karl]

Se la regola e' quella ,hai ragione tu.
Ciao.
karl