Problema di algebra

[andriy84]

Salve a tutti, volevo sapere come si risolve il seguente quesito:

Sia V il sottospazio di R^5 generato dai vettori:

v1 = (1, 1, 0, 0, 0), v2 = (1, 0, 1, 0, 0), v3 = (1, 0, 0, 1, 0), v4 = (−2, 0, 0, 0, 1) e sia

W = {av1 + bv2 + cv3 + dv4 | a + b + c + d = 0} .

Dire per quali valori del parametro reale k il vettore (1 − 2k, 1,−2, k2 + 1,−1) appartiene a
W.

Spero che mi possiate aiutare... Nel libro in cui studio non viene riportato un caso simile, sicuramente si rifà ad argomenti più generali ed è un'applicazione di tali argomenti.

PS: Inoltre volevo chiedervi questo: se v1,v2,v3,v4 sono linearmente indipendenti (cioè se la matrice associata a v1,v2,v3,v4, ridotta per righe, ha rango rk=4) essi formano una base di V. Ma essendo in questo caso V già generato da tali vettori si può affermare che v1,v2,v3,v4 formano una base di V poichè tali vettori sono generatori di V (essendo l.i. e V generato) ?

[goldengirl]

$(av_1 + bv_2 + cv_3 + dv_4)=(a+b+c-2d,a,b,c,d)$

$(a+b+c-2d,a,b,c,d)=(1-2k, 1,-2, 2k+1,-1) $ con la condizione che $a+b+c+d=0$

basta mettere a sistema e ti trovi i valori di k.

se $v_1$, $v_2$, $v_3$ e $v_4$ sono indipendenti, allora formano una base per V (in quanto sappiamo che genera tutto V in $RR^4$)

[andriy84]

Grazie per la risposta comunque non ho capito questo:

perchè viene (av1+bv2+cv3+dv4)=(a+b+c-2d, a, b, c, d) perchè hai messo -2d? che procediemento hai fatto?

come faccio a mettere in sistema (a+b+c-2d,a,b,c,d)=(1-2k, 1,-2, 2k+1,-1)? (cioè, quali sono le equazioni da mettere in sistema)?

scusami per le domande...ti ringrazio per diponibilità

[goldengirl]

scusami, di solito sono abituata a saltare dei passaggi che x me sono ovvi...
comunque ti riporto qui il procedimento passo passo....

$av_1+bv_2+cv_3+dv_4=a(1,1,0,0,0)+b(1,0,1,0,0)+c(1,0,0,1,0)+d(-2,0,0,0,1)=$
$=(a,a,0,0,0)+(b,0,b,0,0)+(c,0,0,c,0)+(-2d,0,0,0,d)=(a+b+c-2d,a+0+0+0,0+b+0+0,0+0+c+0,0+0+0+d)=$
$=(a+b+c-2d,a,b,c,d)$

ora al fine di vedere quali siano i valori di k x cui il vettore $(1-2k,1,-2, 2k+1,-1) in W$ devi porre
$(a+b+c-2d,a,b,c,d)=(1-2k, 1,-2, 2k+1,-1)$

ovvero:
${ (a+b+c-2d=1-2k) , (a=1) , (b=-2) , (c=2k+1) , (d=-1) , (a+b+c+d=0)]$

[andriy84]

Grazie!!!
E dal sistema si trova k= -1/4 (spero di aver fatto i conti giusti....)
Ti ringrazio tantissimo, non ti preoccupare se non avevi scritto i passaggi, il problema è mio!
Grazie ancora tantissimo!

[goldengirl]

scusa.... ma il vettore da verificare che appartenga a W è il seguente
$(1-2k, 1,-2, 2k+1,-1)?$

[andriy84]

si perchè?

[goldengirl]

perchè per me il sistema non ammette soluzioni....

[andriy84]

Hai ragione...non ammette soluzioni reali...quel k=-1/4 era soluzione del sistema che non aveva l'equazione a+b+c+d=0. Cmq tu come hai trovato che non ammette soluzioni? io sono giunto a questa conclusione perchè ho provato a fare il sistema e non c'era una soluzione...ma so (ma non ricordo la definizione e spero che tu la possa ricordare) che già a priori possiamo dire se un sistema ammette o no soluzioni...

[goldengirl]

ho semplicemente visto che per $c=2$, $k$ aveva due soluzioni distinte nel sistema....