applicazioni lineari (esercizio)

[Pivot]

Salve a tutti.
Volevo un chiarimento su questo esercizio.


Si consideri l'applicazione lineare F: R^4 -> R^2 , (x,y,z,t) -> (2x-y, z+t).

a) Determinare una base del nucleo di F.

b) Determinare due vettori v_1 e v_2 di R^4 tali che risulti: F(v_1) = (1,0) e F(v_2) = (0,1).

c) Dimostrare che F è sureittiva e che risulta: R^4 = N(F) + <v_1, v_2>. (sommandi diretti)



Quello che non riesco a fare è il punto b). Come trovo i vettori di partenza, conoscendo l'applicazione e le rispettive immagini?

Anche l'ultimo punto, come faccio a far vedere che lo spazio ambiente è dato dalla somma diretta del nucleo e del sottospazio generato dei vettori v_1 e v_2?

Grazie per la pazienza.

[Maxos]

L'ultimo punto è semplice: le immagini di v1 e v2 generano l'immagine di f, dunque il sottospazio da essi generato sta in somma diretta con il Ker dando il dominio.

Il secondo è banale, imposto il sistema ${(2x_1-y_1=1),(z_1+t_1=0):}$ e analogo per v2, poi ottengo $v_1=(x_1,2x_1-1,z_1,-z_1)$ da cui per esempio posso ottenere per $x_1=z_1=1$ (arbitrariamente scelti) $v_1=(1,1,1,-1)$

Ok?

[Pivot]

ok grazie. Poi se non mi torna qualcosa te lo faccio sapere.

[Maxos]

OK