Consiglio di Algebra

Messaggioda andriy84 » 15/09/2006, 15:44

Vi propongo dei quesiti di algebra lineare....spero che mi possiate aiutare a risolvere i seguenti quesiti. Nel secondo post metterò il mio procedimento che a me lascia qualche dubbio, o meglio volevo sapere se ho fatto i passaggi giusti. Grazie sin da ora per la disponibilità.

Intanto ecco i quesiti:

Sia V il sottospazio di R^5 generato dai vettori
v1 = (1, 1, 0, 0, 0), v2 = (1, 0, 1, 0, 0), v3 = (1, 0, 0, 1, 0), v4 = (−2, 0, 0, 0, 1)
e sia
W = {av1 + bv2 + cv3 + dv4 | a + b + c + d = 0}

1) Studiare, al variare del parametro reale h, l’applicazione lineare f : R^3 --> V definita dalla legge

f (x, y, z) = (x − y)v1 + (y − z)v2 + h(z − x)v3.

2) Determinare Imf intersezione W al variare di h.

3) Studiare, al variare del parametro reale m, la semplicità dell’endomorfismo g : W --> W,
definito dalle relazioni g(v1 − v2) = v2 − v3, g(v2 − v3) = m(v1 − v2), g(v3 − v4) = v1 − v2 + 2v3 − 2v4.
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Messaggioda andriy84 » 15/09/2006, 17:15

Per quanto riguarda il quesito numero 1, vediamo se il mio procedimento è corretto:

abbiamo f(x,y,z)=(x-y)v1+(y-z)v2+h(z-x)v3 da cui:

(x-y)(1,1,0,0,0) = (x-y, x-y,0,0,0)
(y-z)(1,0,1,0,0) = (y-z, 0, y-z, 0,0)
(hz-hx)(1,0,0,1,0) = (hz-hx,0,0,hz-hx,0) da cui si ricava:

(x-y+y-z+hz-hz, x-y,y-z,hz-hx,0) --> (hz-hx+x-z, x-y, y-z, hz-hx,0) (grazie manu...)

A questo punto (sempre se il procedimento qui sopra è giusto) si dovrebbe cercare di studiare f.
Io procederei in questo modo. Mi vado a scrivere la matrice associata Mf:

1-h 0 h-1
1 -1 0
0 1 -1
-h 0 h

Riduco la matrice ed ottengo la matrice ridotta:

1-h 0 h-1
h-1 1-h 0
0 3h^2-4h+1 0
0 0 0

con i seguenti risultati di rango:

per h=1 avremo rango diverso da 1/3 e da 1 ed f sarà iniettiva

per h=1/3 avremo rango 2 e dimImf=2 ---> dimKerf=1
Una base di Imf è [(2/3, 1, 0, -1/3), (0,-1,1,0)]
il Kerf={(x,x,x)} ed una sua base è [(1,1,1)]

ora voglio chiedervi questo:
1) il ragionamento e il procedimentoche che ho fatto è giusto (e sono giusti anche i calcoli)?
2) io trovo come soluzione di 3h^2-4h+1 anche 1, se però sostiutisco h=1 alla matrice ridotta ottengo dimImf=0, è possibile?
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