Applicazione lineare

[daniele_cmp]

Salve a tutti, avrei bisogno di una conferma sulla correttezza del ragionamento. L'applicazione lineare è definita come $f:M(2,2)->M(2,1)$ con $f((a,b),(c,d))=((a+d),(b+c))$ e l'esercizio chiede, tra le varie cose, di determinare una base del Kerf. Quindi si tratta di trovare quegli elementi di M(2,2) che hanno immagine nulla in M(2,1), tali che siano L.I. e in numero pari a 2 (dato che essendo dimImf=2$->$dimKerf=2). Allora ho posto ${(a+d=0),(b+c=0):}$, che ha infinite soluzioni. Provo a dare dei valori, ad es ${(a=1),(d=-1),(b=2),(c=-2):}$ e ${(a=0),(d=0),(b=-3),(c=3):}$, trovo le due matrici $((1, 2),(-2,-1))$ e $((0,-3),(3,0))$ che sono L.I. in quanto $rg((1,2,-2,-1),(0,-3,3,0))=2$, e quindi queste formano una base del Kerf. Il ragionamento è corretto?

[Camillo]

Sì , più in generale puoi dire che ker f è costituito dalle matrici $ ((a,b),(-b,-a)) $ ed è quindi di dimensione 2 avendo 2 variabili libere ed una base è ad esempio formata da $((1,0),(0,-1))$ ;$((0,1),(-1,0))$ avendo posto : $ a=1 ,b=0 $ e poi $a=0,b=1 $.

[daniele_cmp]

Ok, ti ringrazio!

Ciao