Applicazione lineare

[Ken1986]

Chi mi aiuta a svolgere questo esercizio?????

Data l’applicazione lineare f : R3  R3 definita da f (x,y,z) = (z + y , z - x, x+y). Si determini:

• Ker f , una base di Ker f, la dimensione di Ker f;
• Im f, una base di Im f, la dimensione di Im f;
• La matrice associata ad f rispetto alla base canonica di R3;
• La matrice è diagonalizzabile?
• Se si scrivere una eventuale forma diagonale


Grazie a tutti anticipatamente...

[prime_number]

Ciao! Allora
Intanto si osserva che

f(x,y,z)= (0,-x,x)+(y,0,y)+(z,z,0)=x(0,-1,1)+y(1,0,1) +z(1,1,0)

Allora Im(f)=<(0,-1,1), (1,0,1),(1,1,0)>

Costruiamo allora la matrice rispetto alla base canonica sia nel dominio che nel codominio

0 1 1
A= -1 0 1
1 1 0

per trovare il nucleo di f faremo così:
sia X=(x,y,z) vettore generico
Le equazioni per Ker(f) rispetto alla base canonica di R^3 si trovano sviluppando AX=(0,0,0)
questo per la definizione del nucleo di f. [basta che sviluppi il prodotto riga per colonna. Otterrai un sistema di 3 equazioni, dopo togli se ce ne sono quelle linearmente dipendenti]

Per Im(f) vedi sopra, ti ho trovato i vettori che la generano, ma bisogna controllare che siano linearmente indipendenti.

Per vedere se la matrice A è diagonalizzabile basta che
- trovi il polinomio caratteristico
- trovi le sue radici
- controlli se molteplicità algebrica e geometrica coincidono
Ricorda che se un autovalore ha molteplicità algebrica 1, la sua molteplicità geometrica è per forza 1.
Quindi se trovi 3 autovalori distinti f è diagonalizzabile.
Ti ho dato un po' l'imboccata, prova da solo e se hai bisogno di uno svolgimento più dettagliato fai un fischio!

Paola