da prime_number » 20/09/2006, 08:48
Ciao!
Tu sai che Im(f) è generata da (1-h,1,0,-h,0),(0,-1,1,0,0), perciò ogni vettore appartenente a Im(f) è combinazione lineare di questi 2 vettori.
Allora, prendi il vettore generico (x,y,z,t,k) e scrivi il concetto in formula ovvero
Siano a,b due elementi generici del campo K associato a allo spazio vettoriale Im(f) (in questo caso immagino sia R)
(x,y,z,t,k)= a(1-h,1,0,-h,0) + b(0,-1,1,0,0)
ovvero
x= a(1-h)
y=a-b
z=b
t= -h
k=0
E queste sono le equazioni parametriche. Per ottenere le cartesiane devi eliminare i parametri a,b. Ovvero, in questo caso, dato che z=b, a= y-b=y-z si ha
x=(y-z)(1-h)
t=-h
k=0
Ricorda di considerare h come un numero, non come un parametro! Quindi non devi ad esempio, dato che t=-h sostituire nella 1 e fare x=(y-z)(1+t) ! Devi infatti ottenere equazioni lineari, e quest'ultima non lo è.
Ora, hai W [che è uno spazio vettoriale, non un vettore], W=<(a+b+c-2d,a,b,c,d)> ovvero in altri termini
se (x,y,z,t,k) è un vettore di W si ha
(x,y,z,t,k)=(a+b+c-2d,a,b,c,d) per opportuni a,b,c,d, tali inoltre che a+b+c+d=0
ovvero hai
x=a+b+c-2d -> x=a+b+c+d -3d -> x=0 -3d -> x=-3d -> x=-3k
y=a
z=b
t=c
k=d
qui per ottenere le equazioni cartesiane, basta osservare che y,z,t,k variane come pare a loro, infatti se noti dipendono da parametri indipendenti tra loro ( y=a. Metti che a sia 3, hai y=3. Adesso considera z, che è uguale a b. Come vedi non dipende dal valore di a, cioè 3. Potrebbe essere 2, 4, 1000... Idem gli altri)
L'unica variabile legata ad un altra è x, che assume un valore legato a k.
Quindi l'unica relazione è x=-3k e questa è l'equazione cartesiana di W.
In generale quando hai delle equazioni parametriche per ottenere le cartesiane devi eliminare i parametri lavorando appunto sul sistema lineare.
Spero di essere stata chiara ed esaustiva...!
Paola