Cambio di coordinate

Messaggioda bracardi » 20/01/2004, 19:35

se devo fare un cambio di coordinate tra due sistemi di riferimento con l'origine in comune, ma che sono traslati di un angolo A si fa

chiamo oXY il sistema fisso e quello ruotato oX1Y1

X1=Xcos(A)+Ysen(A)
Y1=Ycos(A)-Xsen(A)

me la potreste spiegare questa formula?
bracardi
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Messaggioda karl » 20/01/2004, 22:46

Un modo,tra i tanti possibili,e' il seguente.
Facciamo la figura in modo che il sistema
X1-O-Y1 risulti ruotato in senso antiorario
e quindi il semiasse X1 positivo si venga a trovare
tra X e Y nel primo quadrante.
Preso un punto P nel primo quadrante (per comodita' di calcolo,
tra X1 e Y), sia t l'angolo tra OP e X1 , Q la proiezione ortogonale di P su X, R la proiezione ortogonale di P su X1.Dal triangolo rettangolo OQP si ricava :
X=OP*cos(t+a) (dove a=angolo di rotazione)
Y=OP*sin(t+a)
e sviluppando:
X=(OP*cost)cos(a)-(OP*sint)sin(a)
Y=(OP*sint)cosa(a)+(OP*cost)*sin(a)
Ma dal triangolo OPR risulta:
X1=OR=OP*cost
Y1=RP=OP*sint
e dunque sostituendo:
X=X1*cos(a)-Y1*sin(a)
Y=X1*sin(a)+Y1*cos(a)

Risolvendo poi rispetto a X1 e Y1 si ottiene alla fine
X1=X*cos(a)+Y*sen(a)
Y1=-X*sen(a)+Y*cos(a)
karl.
karl
 

Messaggioda bracardi » 21/01/2004, 17:24

grazie mille karl come sempre sei stato chiarissimo!!
bracardi
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