Basi di intorni

[Kroldar]

Vorrei risolvere un esercizio che chiede:
Sia $(X,tau)$ uno spazio topologico e siano $B_1$ e $B_2$ due basi di aperti per $X$. $B_1 \cap B_2$ è una base di aperti per $X$?

Con $B_1 \cap B_2$ intende l'insieme degli aperti che appartengono sia alla base $B_1$ che alla base $B_2$?
In questo caso mi sembra immediato rispondere no. Due basi distinte, che tra l'altro potrebbero generare anche topologie diverse, potrebbero anche non avere alcun aperto in comune, quindi la loro intersezione potrebbe anche essere l'insieme vuoto... o no?

[Fioravante Patrone]

Con $B_1 \cap B_2$ intende l'insieme degli aperti che appartengono sia alla base $B_1$ che alla base $B_2$?

se non intendesse questo andrebbe cacciato a pedate per uso improprio di notazioni matematiche di base!

In questo caso mi sembra immediato rispondere no. Due basi distinte, che tra l'altro potrebbero generare anche topologie diverse, potrebbero anche non avere alcun aperto in comune, quindi la loro intersezione potrebbe anche essere l'insieme vuoto... o no?

che potrebbero anche avere intersezione vuota mi sembra corretto. Sarebbe meglio dare un esempio specifico, per convertire una impressione in una affermazione. Si potrebbe fare l'esempio per $RR$ con la topologia euclidea. Prendere due famiglie di intervalli che siano disgiunte e che generino entrambe la topologia euclidea non dovrebbe essere difficile.

Attenzione, che non puoi dire: "tra l'altro potrebbero generare anche topologie diverse". Il testo dice che sono entrambe basi per la stessa topologia.

[Kroldar]

Con $B_1 \cap B_2$ intende l'insieme degli aperti che appartengono sia alla base $B_1$ che alla base $B_2$?

se non intendesse questo andrebbe cacciato a pedate per uso improprio di notazioni matematiche di base!

C'è un motivo per cui ho posto questa banale domanda: gli appunti su cui ho trovato questo esercizio sembra che invece dimostrino che $B_1 \cap B_2$ è base per $X$ ma a me sembrava assurdo, così ho pensato "magari con quella notazione si intende altro".

Attenzione, che non puoi dire: "tra l'altro potrebbero generare anche topologie diverse". Il testo dice che sono entrambe basi per la stessa topologia.

Vero, avevo posto poca attenzione quando leggevo.

[Thomas]

In effetti la notazione non si capisce bene... io vedo 2 interpretazioni:

$B_1 \cap B_2={A | A \sube B_1 \wedge A \sube B_2}$


$B_1 \cap B_2={A \cap B | A \sube B_1 \wedge B \sube B_2}$


suggerisco di vedere cosa succede con entrambe le interpretazioni ...

[Fioravante Patrone]

@Thomas

io ho dormito poco, stanotte, ma tu ti sei svegliato?
vuoi dare una nuova def. di intersezione?
mi meraviglio di te...
ciao!

[Thomas]

eheh... boh... magari si usa anche in quel senso talvolta, che ne so ...

visto che gli elementi delle basi sono insiemi che a loro volta possiedono l'operazione di intersezione, mi veniva naturale pensare... ed io l'avevo interpretato così...

insomma, niente di male... del resto mi piace di più il tuo come esercizio!

Ok... ora vogliamo vedere una soluzione

[leev]

ma...non sono equivalenti le due interpretazioni?!?

[Fioravante Patrone]

@leev
non parlare di "interpretazione". Non c'è nessun problema interpretativo.

@Thomas
no, quella formula non si usa mai in un senso diverso da quello che dicevo

Una base di aperti è un insieme i cui elementi sono aperti (ovvero, appartengono alla topologia dello spazio).
Quando si dice $B_1 \cap B_2$, il significato di questa scrittura non può essere altro che:
l'insieme di quegli aperti della topologia che appartengono sia a $B_1$ che a $B_2$
O, ripeto, vogliamo cambiare l'interpretazione del simbolo $\cap$?
Allora tanto vale dire che $4+3=6$ (uso il simbolo $6$ per indicare il numero naturale "quattro", mentre uso alternativamente $4$ o $3$ per indicare il numero naturale "due"). Non mi sembra una grande idea. Tranne che per il signor Babele

Naturalmente nulla vieta a nessuno di porsi altri problemi, rispetto a quesllo posto da Kroldar. Se a Thomas interessa risolvere un altro problema, ne ha tutto il diritto, ci mancherebbe. Anzi, magari è più interessante. O, addirittura, potrebbe essere che negli appunti di Kroldar ci fosse un errore (cosa che lui stesso ritiene possibile) e che forse in realtà era quello il problema che la sorgente degli appunti di Kroldar voleva porre.

Ma, per favore, non cambiamo il signifcato di: $\in$, $\sube$, $\cap$, $\cup$, etc...