Esercizio topologia

[Kroldar]

Non concordo con la soluzione proposta dai miei appunti riguardo a un esercizio...

Dire quali sono l'interno, l'esterno e la frontiera dell'insieme $C={(x,y,z); x+y=2, z>0}$, $C sub RR^3$. Si consideri come topologia quella euclidea.

Per il testo:
$Int(C) = O/$
$Est(C) = RR^3 \\ C$
$Fr(C) = C$

Concordo sull'interno, mentre ritengo che sia:
$Est(C) = RR^3 \\ (C uu {(x+y=2),(z=0))$
$Fr(C) = C uu ({(x+y=2),(z=0))$

Consideriamo ad esempio il punto $(2,0,0)$. Esiste un intorno di tale punto la cui intersezione con $C$ sia l'insieme vuoto?
A me sembra di no, dunque questo punto appartiene alla frontiera di $C$, così come tutti i punti che giacciono lungo la retta data dall'intersezione dei piani $x+y=2$ e $z=0$.
Non è così?

[Luca.Lussardi]

E' corretto quanto affermi tu; per altro $C$ non è un insieme chiuso, per cui è impossibile che si abbia $Fr(C)=C$.

Ricontrolla che sul libro tu non abbia letto male, e che invece era $z \ge 0$.

[Fioravante Patrone]

Bello! Chi usa Int, Est, Fr?
un prof, un libro?

io sono sempre stato un sostenitore dell'uso di questa "triade".
un insieme qualsiasi "spacca" lo spazio top in 3 pezzi disgiunti (magari qc può essere vuoto)
mi sembra un modo espressivo di vedere le cose

[Kroldar]

Purtroppo ho controllato ed era $z>0$, quindi il risultato proposto era effettivamente errato

Per risolvere gli esercizi c'era un suggerimento, cioè quello di ricordare che uno spazio topologico è l'unione dell'interno, dell'esterno e della frontiera di un suo sottoinsieme... quello che in sostanza ha affermato Fioravante e che trovo molto potente come metodo da adottare in questi casi

[Kroldar]

Ancora una volta non condivido la soluzione proposta...

Sia $(RR^2,tau)$ uno spazio topologico dove $tau={O/,RR^2}uu{B_(a,b)}$ dove $B_(a,b)={(x,y) in RR^2, a<x<b}$.
Determinare interno, esterno e frontiera dell'insieme $A={(x,y) in RR^2,xy>0}$.

Secondo me è:
$Int(A)=O/$
$Est(A)=O/$
$Fr(A)=RR^2$

Mentra la soluzione indica come esterno e frontiera insiemi diversi.
Opinioni in merito? (spero di sbagliare io... se la soluzione è ancora una volta sbagliata credo che cambierò fonte per gli esercizi)

[Luca.Lussardi]

Non mi torna la tua soluzione, l'unione delle 3 non è tutto lo spazio...

[Kroldar]

Hai ragione... rettifico subito

[Luca.Lussardi]

Ok, va bene. Ma che libro è? Sei sicuro che non stia parlando di qualcos'altro? Mi pare davvero strano che faccia tutti questi errori...

[Kroldar]

Non è un libro, è solo un sito con degli esercizi proposti. Gli appunti che sto studiando (tra l'altro anch'essi trovati in rete) propongono pochi esercizi e così cercavo di sopperire altrove... evidentemente la scelta non si è rivelata ottimale

Cmq in quest'ultimo caso credo che l'errore stia nel fatto che chi ha scritto la soluzione ha considerato per $xy>0$ solo il primo quadrante e non il terzo. Difatti considerando solo il primo quadrante la soluzione proposta andrebbe bene.

[Luca.Lussardi]

Ah ecco.