Matematicamente.it

Scusate mi saprestedire come risolvere questo...



In pratica dovrei verificare le propetà simmetrica, rifessiva e transitiva. Ma come??

La proprietà riflessiva è piuttosto immediata:

x R x vuol dire $(x2 - x2) = (x - x)$ cioè 0 = 0

SIMMETRICA

$(x2 - y2) = (x - y)$
$(x + y)(x - y) = (x - y)$ scomponendo
$(x + y) = 1$ semplificando
$(y + x) = 1$ per commutatività della somma
$(y - x)(y + x) = (y - x)$ moltiplicando a sinistra
$(y2 - x2) = (x - y)$ che è la tesi


TRANSITIVA

$(x2 - y2) = (x - y)$ e $(y2 - z2) = (y - z)$ dalla seconda $y2 = (z2 + y - z)$
sostituendo a y2 nella prima, hai $(x2 - z2) = (x - z)$

Quindi la relazione è di equivalenza.

Correggo errore di battitura nell'ultimo passaggio della proprieta simmetrica:

$(y2 - x2) = (y - x)$

ciao, grazie per la risposta...
eccone un altro:



Scusate ma quella relazione non è riflessiva? Infatti qualunque coppia (a,a) con a>=5 soddisfa a+a>=10. E poi per dmostrare la proprietà simmetrica dovrebbe essere banale perchè dalla relazione x+y>=10 si deduce y+x>=10. E giusto oppure sto scrivendo assurdità??? In tal caso vi pregherei di corregermi. Grazie...

Ciao....
non è TRANSITIVA perchè:
$x+y>=10$; $y+z>=10$; non è detto che $x+z>=10$
infatti se ad esempio:
$x=8$; $y=10$; $z=1$ si avrà.....$x+y>=10$ vale perchè $8+10>10$; $y+z>=10$ vale perchè $10+1>10$; mentre $x+z>=10$ non vale perchè $8+1<10$


non è RIFLESSIVA perchè:
deve sempre valere x p x, per valori di x>=5 vale, ma per valori inferiori no.

è SIMMETRICA, perchè come tu hai giustamente detto, vale la proprietà commutativa dell'addizione, ossia è palese che $x+y>=10$ equivale a $y+x>=10$

Alexp

Adesso ho questo:

"Dimostrare che una relazione R definita in un insieme X che è simmetrica e antisimmetrica è anche transitiva. "

Allora ho provato a ragionare un po sulla matrice di incidenza di R (M) e considerando che:

1 - proprietà simmetrica: M=M' (M' = trasposta di M)
2- propeietà antisimmetrica: Mij * Mji =0 (Mij = elemento di posto ij di M)

A questo punto trovo un assurdo poichè prendendo una matrice M 3*3 mi risulta impossibile formarla con le proprietà 1 e 2. Infatti:

a b c
d e f
g h i

che per la proprietà 1 --> b=d c=g h=f mentre per la proprietà 2 --> b*d=0 c*g=0 h*f=0.
Qualcuno mi illumini...

"Dimostrare che la relazione u su R (insieme dei reali) definita da x u r <--> [sin(x)]^2 + [cos(y)]^2 =1 è una relazione di equivalenza."

Le proprietà riflessiva e transitiva sono banali, mentre non mi ritorna la proprietà simmetrica. Infatti deve essere:

[sin(x)]^2 + [cos(y)]^2 =1 e [sin(y)]^2 + [cos(x)]^2 =1 --> [sin(x)]^2 + [cos(y)]^2 = [sin(y)]^2 + [cos(x)]^2 e sviluippando i conti esce: [cos(x)]^2 - [cos(y)]^2 = 0. Cos'è che sbaglio???
Grazie a tutti...

non ho guardato i tuoi conti, ma considera che siccome quell'espressione come è noto rappresenta una circonferenza con centro nell'origine, e siccome il piano reale lo puoi considerare come l'unione disgiunta (partizione) di circonferenze siffatte, allora necessariamente la relazione che determina questa partizione è di equivalenza (che poi son le coordinate polari)

per la proprietà simmetrica tu devi dimostrare che se x è in relazione con y allora y deve essere in relazione con x.
Parti da quello che devi dimostrare ovvero da $[sen(y)]^2+[cos(x)]^2=...$
puoi trasformare il primo seno in coseno e il secondo coseno in seno...[/i]

Si ok era un errore di calcolo. E per questo che mi dite?

TheWiz@rd ha scritto:
"Dimostrare che una relazione R definita in un insieme X che è simmetrica e antisimmetrica è anche transitiva. "

Allora ho provato a ragionare un po sulla matrice di incidenza di R (M) e considerando che:

1 - proprietà simmetrica: M=M' (M' = trasposta di M)
2- proprietà antisimmetrica: Mij * Mji =0 (Mij = elemento di posto ij di M)

A questo punto trovo un assurdo poichè prendendo una matrice M 3*3 mi risulta impossibile formarla con le proprietà 1 e 2. Infatti:

a b c
d e f
g h i

che per la proprietà 1 --> b=d c=g h=f mentre per la proprietà 2 --> b*d=0 c*g=0 h*f=0.
Qualcuno mi illumini...