tensore di levi-civita

[Thomas]

ciao... qualcuno mi sà dire qualcosa su questo tensore?? ... cioè io conoscevo il "simbolo" di Levi-Civita $\epsilon$ che se ben ricordi ha come dominio una n_upla $[x_1,x_2,..,x_n]$, con $1<x_i<n$ per ogni $i$ e $x_i$ naturale e come codominio $[-1,1,0]$ secondo particolari regole...
ma in che senso questa funzione può essere vista come un tensore??? e praticamente come è definita?

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Che io sappia non è un tensore, ma uno pseudotensore....cambia il modo in cui si comporta rispetto alle trasformazioni di coordinate.

[Thomas]

ottimo... non è che mi sapresti dire qualcosa di più sulla definizione di pseudo-tensore?

inoltre, approfittando della disponibilità, ti vorrei anche chiedere: se qualcuno ti parla di "tensore completamente anti-simmetrico" a te cosa viene in mente???

thx in advance

[GIOVANNI IL CHIMICO]

mi viene in mente che sia antisimmetrico rispetto a tutti i suoi indici

[Thomas]

forse guardando su google ho capito perchè il tensore di Levi-Civita è effettivamente un tensore... ma non perchè uno pseudo-tensore, come dici tu... Mi puoi dire se quanto scrivo sotto è corretto, no perchè sto cercando di chiarirmi le idee ma non ci riesco poi troppo bene...

$n=3$
Abbiamo $\epsilon^(i,j,k)$, che suppongo essere un tensore controvariante (anche se questo non me l'ho letto esplicitamente da nessuna parte). supponiamo di essere nello spazio di Minkowsky per fissare le idee con un cambiamento di coordinate "lorenziano" $U^( i)_j$. Allora perchè sia un tensore deve valere, indicando con $\epsilon_2$ il trasformato:

$\epsilon_2^(m,n,u)=U^( m)_i U^( n)_jU^( u)_k \epsilon^(i,j,k)=\epsilon^(m,n,u)$

visto che per come è definito non deve dipendere dalle coordinate

tiene un minimo senso quanto ho scritto sopra???