Cito dal libro di algebra lineare:
[...] PS 4. Se A = O è il vettore nullo, allora A$\dot$A = 0; in ogni altro caso abbiamo A$\dot$A>0 [con $\dot$ prodotto scalare di vettori]
La disuguaglianza che ora proveremo è chiamata disuguaglianza di Schwarz ed è di fondamentale importanza nella teoria dei vettori.
Teorema 1 Siano A, B due vettori, allora
$(A$$\dot$$B)^2$ $\le$ (A$\dot$A)(B$\dot$B)
Dimostrazione. Sia x = B$\dot$B e y= -A$\dot$B; da PS 4 segue allora
0 $\le$ (xA+yB)$\dot$(xA+yB)
Sviluppando il secondo membro di questa disuguaglianza si ha
0 $\le$ $x^2$(A$\dot$A) + 2xy(A$\dot$B) + $y^2$(B$\dot$B)
Sostituendo i valori di x e y si ottiene
0 $\le$ $(B$$\dot$$B)^2(A$$\dot$$A)$ - 2 $(B$$\dot$$B)(A$$\dot$$B)^2$ + $(A$$\dot$$B)^2(B$$\dot$$B)
Se B = 0, la disuguaglianza da provare è ovvia essendo nulli entrambi i membri. Se B$\ne$0, allora B$\dot$B$\ne$0 e possiamo quindi dividere l'ultima espressione per B$\dot$B ottenendo
0 $\le$ $(A$$\dot$$A)(B$$\dot$$B)$ - $(A$$\dot$$B)^2$
La dimostrazione si conclude portando il termine -$(A$$\dot$$B)^2$ nel primo membro.
Non riesco a capire da dove sbuchi fuori quel (xA+yB)$\dot$(xA+yB) nella prima disequazione.
Spero possiate aiutarmi a capire.
Grazie, ciao.