Dubbi....(su scomposizioni di matrici)

[UnKnown089]

Allora la domanda forse posta ad un matematico potrebbe essere abbastanza stupida, però vorrei sapere....

una matrice si puo sempre scrivere come somma di una parte simmetrica e di una emisimmetrica ... perchè?

se ho una matrice A sarà quindi = S(simmetrica)+ W(Emisimmetrica)

perchè si ha?? S = 0.5 * (A+A[Trasposta])
W =0.5 * (A-A[Trasposta])

potreste spiegarmelo prima diciamo a parole (senza troppa matematica).....
grazie infinite alla 2

[miuemia]

diciamo in parole e senza troppa matematica che l'insieme delle matrici di ordine n a coefficienti reali (suppongo tu consideri queste) si scompone in due sottospazi quello formato dalle matrici simmetriche e quello formato dalle matrici antisimmetriche e tali insiemi sono appunto sottospazi si intersecano solo nella matrice nulla e $dim(S)+dim(A)=dim(M)$
dove S è il sottospazio delle matrici simmetriche
A quello delle matrici antisimmetriche
M è l'insieme delle matrici di ordine n.
chiaramente dim indica la dimensione.

si dice che in questo caso S e A sono in somma diretta.
spero di essere stato chiaro a parole ma se vuoi chiarimenti consulta un qualsiasi libro di algebra lineare di base che sicuramente lo porterà come esempio.
ciao

[leev]

beh ma meglio di come l'hai detto te non è evidente:)

S lo poni 0.5 *(A+A[t]), che puoi verificare facilmente ke è simmetrica (S=S[t])
W lo poni 0.5 * (A-A[t]), che è antisimmetrica ( W=-W[t])

Visto che S+W=A, hai quindi che A è una somma di 2 matrici, una simmetrica una emisimmetrica

[miuemia]

si forse ho detto una cosa molto più generale.
a volte è meglio fare i conti.