Determinanti

[matematicoestinto]

Ciao a tutti... purtoppo ieri ho perso un'importante lezione di algebra lineare e studiando dal libro ho trovato complicata la definizione di Determinante di una matrice..... Potete spiegarmela con parole più semplici facend riferimento alla definizione "ufficiale"?

Grazie

[marcocac]

Ciao!

Il "determinante di A(matrice)" non è altro che un elemento di uno spazio vettoriale (ad esempio l'insieme K) che si può associare ad ogni matrice quadrata A ad elementi dello stesso spazio vettoriale K.

Questo non significa che se hai 2 matrici delle stesse dimensioni esse avranno lo stesso determinante!
In pratica tu devi aspettarti un "numero" (o per meglio dire un elemento dello spazio vettoriale) che potrai utilizzare per capire di che matrice si tratta (puoi conoscere il suo rango o se è confermata la sua invertibilità).

Solitamente, se lo si calcola su una matrice denominata A (e che sia quadrata!!!!), si indica con det(A) oppure |A| o anche con det(aij) dove i:righe di A e j:colonne di A.

I modi esistenti per calcolarlo sono tutti abbastanza meccanici e non particolarmente difficili.
Ce ne sono diversi:
Quello universale è il metodo di Laplace (puoi applicarlo a qualsiasi matrice + o - grande);
Per le matrici 3x3 (o di ordine 3) c'è il metodo di Sarruss;
Per le matrici 2x2 (o di ordine 2) basta una semplice differenza tra prodotti delle 2 diagonali.

Spero di esserti stato di aiuto almeno un pò... per altre domande sono sempre a disposizione.

Marco (studente di ingegneria)

[matematicoestinto]

Grazie per avermi risposto...

il mio problema è la definizione... non capisco il fatto delle inversione e delle permutazioni....

[matematicoestinto]

me la potete spiegare?

[leev]

matematicoestinto, intendi la formula con la sommatoria su tutte le permutazioni..etc..?

Se ti chiedi come si trova, cosi a memoria non te lo saprei dire...xo nn penso che ti chiedi come si applica, no?!

[matematicoestinto]

si, mi chiedo come si applica,
vorrei spiegata la definizione... non voglio impararla a memoria, anche se gli esercizi li so fare.....

[Cheguevilla]

Il determinante di una matrice 1x1 è l'elemento stesso.
Il complemento algebrico $m$ dell elemento di posto $ij$ è dato da:
$m_(ij)=(-1)^(i+j)|A_(/ij)|$
Dove $A_(/ij)$ è la matrice a cui sono state tolte la riga $i$ e la colonna $j$.
Genericamente, il determinante di una matrice è:
$|A|=sum_(h=1)^na_(hj)m_(ij)$
Detto a parole:
Scegli una riga o una colonna a piacere (possibilmente quella che contiene più zeri!).

Codice:

Il determinante della matrice è dato dalla somma tra
   i prodotti tra
      (gli elementi della riga o colonna scelta)*(il rispettivo complemento algebrico).

Il complemento algebrico, a sua volta, può essere visto come il determinante della matrice a cui vengono tolte la riga e la colonna dell'elemento di cui si cerca il complemento algebrico. Il tutto moltiplicato per -1 se $(i+j)$ è dispari, dove i e j sono la riga e la colonna solite.