Dimensioni di spazi vettoriali

da **Physicus** » 28/10/2006, 11:19

Come si calcola velocemente la dimensione degli spazi vettoriali? è giusto dire che la dimensione è il numero delle incognite - il rango della matrice associata allo spazio vettoriale? insomma aiutatemi un pò...per favooooooooooooooore

da **leev** » 28/10/2006, 11:24

matrice associata a spazio vettoriale?, o piuttosto matrice associata a un endomorfismo tra spazi vettoriali?!

Per esempio hai un teorema che ti dice che per $phi: U -> V$ con $U$ e $V$ spazi vettoriali di dimensione finita, il rango di $phi$ sommato alla dimensione del nucleo di $phi$, ti dà la dimensione di $U$..., può essere utile?

da **Maxos** » 28/10/2006, 11:56

La dimensione è il numero di elementi (cardinalità) di una qualsiasi base dello spazio, dunque non è banale trovarla.

Se poi ti riferisci agli spazi di dimensione finita su un corpo $K$, che sono tutti isomorfi a $K^n$, beh, se sono definiti con dei parametri variabili allora una tecnica tipica è contare il numero di parametri, ma non è detto che siano indipendenti, ho l'impressione che tu non conosca bene la teoria se hai questi problemi pratici, il consiglio è di capire che cosa è uno spazio vettoriale e che cosa è una base ecc...

Bel consiglio.

da **Physicus** » 28/10/2006, 17:14

Forse non ho capito un'acca degli spazi vettoriali forse no (protendo più alla prima ipotesi) ma certamente mi spaventate con tutti questi paroloni. Comunque ora porto un esempio così mi capite. Ad esempio secondo i miei appunti la dimensione di uno spazio vettoriale U di x1, x2, x3, x4 in R4 tale che x1-x2+x3-2*x4=0 è 3...perchè mai? Oppure la dimensione delle matrici simmetriche 2*2 è 3 e quelle antisimmetriche 2*2 è 1...perchè? Ho pensato che ci fosse una certa relazione con il numero delle incognite ma non sono sicuro... Rispondete a questo: qual è la dimensione di U spazio vettoriale di x, y, z, t, in R4 tale che 2x-y+z=0 e x-y=0????? è per caso 3? Se sì posso scrivere che una base di U è proprio l'insieme dei vettori (2, 1), (-1, 1) e (1, 0)???? Please help meeeeeeee

da **miuemia** » 28/10/2006, 17:43

no non è 3 ma 2, e sicuramente la tua base è sbagliata perchè sono vettori con 2 componenti ma se siamo in $RR^4$?
nn credo tu abbia chiaro il concetto di base. ti consiglio un qualsiasi libro di algebra lineare e risolverai i tuoi dubbi

da **leev** » 28/10/2006, 17:51

[Mi si corregga se sbaglio:]

la dimensione per definizione è il numero minimo di vettori linearmente indipendenti che generano lo spazio vettoriale.
Se x1,x2,x3,x4 ti generano U, e hai la relazione x1-x2+x3-2x4=0, un vettore lo puoi esprimere in funzione degli altri 3; quindi la dimensione è 3 (se quella è l'unica relazione fra i vettori...).
Per le matrici è un po analogo:
matrici simmetrice, c'hai un termine che è uguale a un altro, e gli altri termini liberi, quindi dimensione 3.
antisimmetriche, 0 sulla diagonale, e un termine uguale all'altro, quindi dim =1.
[anche se andrebbe mostrato un po meglio...]

L'ultimo esempio nn ho troppo afferrato: sei in R4 e consideri vettori di 2 componenti?

da **Camillo** » 28/10/2006, 18:03

Sottospazio vettoriale U : hai 4 variabili $ x_1,x_2,x_3,x_4 $ legati da una relazione ; hai quindi 3 variabili indipendenti e la DIM U = 3.
Matrici simmetriche 2x2 ; $A =((a,b),(c,a)) $ , hai tre variabili indipendenti : $a,b,c $ quindi la dim dello spazio delle matrici simmetriche è 3.
Matrici emisimmetriche : $ B =((0,a),(-a,0))$ : i valori sulla diagonale principale non possono esere che nulli e quindi hai una sola variabile indipendente $ a $ , dim dello spazio relativo è 1.

da **Physicus** » 28/10/2006, 18:10

scusatemi ho scritto male..non intendevo solo due componenti ma (2, 1, 0, 0), (-1, 1, 0, 0) e (1, 0, 0, 0)...fin qui ci arrivo ma per essere breve confondo gli altri e pure me... Ho capito tutto quanto e sto al settimo cielo...grazie davvero a tutti voi in particolar modo agli ultimi tre che mi hanno risposto...Braviiiiiii!

da **Camillo** » 28/10/2006, 18:12

Per l'ultimo esercizio hai 4 variabili , 2 relazioni che sono $2x-y+z = 0, x-y = 0 $ fra loro indipendenti e quindi la dimensione del sottospazio è : 4-2 = 2 .
Le relazioni le puoi riscrivere così : $x=y; z=-x $ e quindi il generico vettore del sottospazio sarà rappresentabile come :$(x,x,-x,t ) $ che ha appunto due variabili indipendenti $x , t $.
Una base la si trova assegnando ad es $x=1;t=0$ e poi $x=0; t =1 $ ottenendo : $(1,1,-1,0),(0,0,0,1) $.

da **Physicus** » 29/10/2006, 09:30

Ditemi se ho capito bene... Se ad esempio io ho U = {(x,y,z,t) in R4 tale che x+y=0} allora la dimensione è 3 perchè x=-y ed è come se avessi un sistema tipo x=-y, y=y, z=z, t=t quindi ho tre variabili indipendenti y, z, e t. Quindi una base è (-1,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1)? Rispondetemi vi prego

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