Rango matrice

[matematicoestinto]

Devo calcolare il rango di una matrice.... ad esempio 7 x 5, senza ricorrere alal riduzione a scalini e considerando i minori non nulli. Il rango può essere minore o uguale a 5. Per vedere se ha rango 5 devo controllare che fra i $C(7,5)=21$ minori di ordine 5 estratti dalla matrice ve ne sia uno non nullo? Ma non è un po' troppo laborioso in caso di sfortuna (cioè nel caso siano tutti nulli tranne il ventunesimo preso in considerazione) rispeto alal riduazione a scalini? Oppure il procedimento che ho scritto io è sbagliato ed ho capito male la teoria?

[Scusate se ci sono errori di terminologia, per favore correggeteli]

[matematicoestinto]

Karl... se ci sei batti un colpo........

[Cheguevilla]

Ciò che dici è corretto.
Per "metodo a scalini" intendi quello di Gauss?
Se così fosse, certamente il calcolo dei minori è laborioso.
Sinceramente, non credo di avere le conoscenze per proporti strade alternative.

[matematicoestinto]

Si, intendo quello di Gauss....

L'altro metodo ritengo che sia sconveniente se non si ha un colpo d'occhio che individui il minore opportuno!

Domanda da ignorante: Ma a cosa mi serve calcolare il rango di una matrice?!?!?!?!?

[Cheguevilla]

Ha diversi significati.
Ad esempio, se il rango è massimo, la matrice ammette almeno un'inversa.
Le matrici quadrate, se hanno rango massimo, ammettono un'inversa. Se questa esiste, è unica, cioè è uguale sia a destra che a sinistra.
Le matrici non quadrate, se di rango massimo, ammettono infinite inverse ma solo a destra o solo a sinistra, a seconda che abbiano più righe o più colonne.
Il rango è il numero di vettori linearmente indipendenti che compongono la matrice.
Per il motivo detto sopra, il rango è la dimensione della base generatrice del sottospazio descritto dalla matrice.
Il rango è utilizzato per determinare se un sistema lineare ammette soluzioni e se è determinato.
E molto altro...

[marcocac]

Il principio dei minori orlati è senza dubbio il migliore.

Se tu hai una matrice A (5x7) individua subito una sottomatrice quadrata (ad esempio B) di ordine 2x2.
se det(B) diverso da 0 allora rango(B)=2 e la matrice A ha rango compreso tra 2 e 5.

Dopo questo tu dovrai orlare la matrice B aggiungendo una riga ed una colonna per volta (avrai così una matrice 3x3) così facendo potrai ripetere il ragionamento.. ma è cmq il metodo meno laborioso perchè se tu individui un minore non nullo allora puoi star sicuro di poter evitare di considerare tutti gli altri minori dello stesso ordine.
PS: ti conviene applicarlo solo per le matrici rettangolari. Per le matrici quadrate ti conviene partire dal determinante della matrice stessa.

Il RANGO è il massimo numero di vettori linearmente indipendenti di una matrice e questa definizione può aiutarti anke a risolvere sistemi di equazioni associando i coefficienti ad una matrice (il num di equazioni del sistema diverranno le righe ed il numero di incoglite le colonne).

In oltre:
1. Se tu hai una matrice 4x4 ed il suo determinante è "non nullo" allora essa avrà rango 4 e sarà invertibile.
2. se hai un sistema di equazioni del tipo Ax=b (A: matrice dei coefficienti e b: vettore dei termini noti) allora il sistema è compatibile SOLO SE rango(A)=rango (A*b) e questo è un vantaggio xkè ti evita di andare a risolvere il sistema.

Il rango è importante come dato, ti facilita le cose perchè ti permette di identificare lo stato degli elementi che compongono la matrice ed il tipo di matrice stessa.[/list]

[itpareid]

oppure guardi se c'è qualche riga/colonna che non è linearmente indipendente (a volte si vede ad occhio, ma non sempre è facile...)