Aiuto determinanti

[matematicoestinto]

Ciao a tutti..

scusate per la mia richiesta insolita.... Purtroppo ho perso una lezione di algebra lineare e adesso ho qualche problema a decifrare gli appunti di un collega...


Potete spiegarmi cosa è stato fatto in questo esercizio?

$det((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22)))=a_(11)a_(22)-a_(21)a_(12)$ dato che $S_2=((1,2),(1,2)),((1,2),(2,1))$ e $sgn((1,2),(1,2))=1$ e $sgn((1,2),(2,1))=-1$


GRAZIE anticipatamente a chi mi aiuterà

N.B. Ovviamente quello che non mi è chiaro è il "dato che"

[Camillo]

Vai a veder qui :
http://it.wikipedia.org/wiki/Determinante
è spiegato alla voce : Definizione

[matematicoestinto]

Non capisco il discorso delle permutazioni? Su quali oggett avvengono, quali vengono permutati?

[leev]

Se hai presente la formula per calcolare il determinante, per una 2x2 devi fare una sommatoria su tutte le permutazioni in $S_2$, che sono 2:
l'identità $((1,2),(1,2))$ e $((1,2),(2,1))$;
non so se sai cmq calcolare il segno della permutazione, cmq, come hai detto l'identità è di segno 1, mentre l'altra -1.

Detto ciò, ti basta utilizzare la formula ( $sum_(sigmainS_2) sgn(sigma) *a_{1,sigma(1)} *a_{2,sigma(2)}$ )

[matematicoestinto]

Da dove prendo tutte le permutazioni in (S_2)?

Questo forse lo so....

Ma soprattutto, come faccio a capire l'ordine con cui appioppare i + e i meno.....

Es: se il determiannte fosse stato 3x3, al secondo termine del determinante, quale permutazione compete?

[karl]

Per una matrice 3x3 i prodotti da considerare diventano 3!=6
e sono i seguenti:
$a_(11)*a_(22)*a_(33)$
$a_(11)*a_(23)*a_(32)$
$a_(12)*a_(21)*a_(33)$
$a_(12)*a_(23)*a_(31)$
$a_(13)*a_(21)*a_(32)$
$a_(13)*a_(22)*a_(31)$
Per capire come si formano e' sufficiente osservare che, in ogni prodotto, i primi
indici ( quelli delle righe) sono sempre 1,2,3 (cosa a cui ci si puo' sempre ridurre
scambiando opportunamente i fattori) mentre i secondi indici ( quelli delle colonne)
sono una permutazione di questi ultimi.
Ad esempio nel primo prodotto i primi indici sono 1,2,3 ed i secondi sono 1,2,3
e vanno a formare la permutazione identica
$((1,2,3),(1,2,3))$

mentre nel secondo prodotto i primi indici sono sempre 1,2,3 ed i secondi sono 1,3,2
e vanno a formare la permutazione
$((1,2,3),(1,3,2))$
e cosi' via fino ad esaurire tutte le 6 possibili permutazioni.
Ad ognuno di questi 6 prodotti viene attribuito poi il segno "+" o il segno "-"
a seconda che la permutazione corrispondente sia di classe pari o di classe dispari
ovvero se essa permutazione presenti un numeri pari o dispari d'inversioni.
Nel caso nostro i segni da attribuire ai 6 prodotti sono nell'ordine:
+,-,-,+,+,-
come puoi controllare da solo ( e salvo miei errori !).
A scanso di equivoci aggiungo che la dizione " viene attribuito il segno + o -"
significa semplicemente che il prodotto in esame viene lasciato col suo segno
o ne viene cambiato a seconda della classe della permutazione relativa.
karl

[matematicoestinto]

GRAZIE A TUTTI

@ Karl

Grazie soprattutto a te! E' proprio quello che volevo sapere e che non avevo capito!!!!