Dimostrazioni relative a SPAZI METRICI

[cippolippo]

Non riesco a risolvere questo esercizio che si trova al fondo del capito del mio libro.

Sia F:XY continua. L’immagine della chiusura è inclusa nella chiusura dell’immagine. Dimostrare. Dare inoltre un esempio concreto di immagine della chiusura strattamente inclusa nella chiusura dell’immagine.

[Kroldar]

Sia $id:(RR,d)to(RR,epsilon)$ dove $id$ è l'applicazione identica, $d$ è la topologia discreta e $epsilon$ è la topologia euclidea. Ovviamente la suddetta applicazione è continua. Sia inoltre $(a,b)$, $a,b in RR$, $a<b$ un intervallo di $RR$ che non comprende gli estremi. Tale intervallo è chiuso nella topologia discreta. La sua immagine però è un aperto nella topologia euclidea, la cui chiusura è $[a,b]$, ovvero lo stesso intervallo con gli estremi inclusi. Ecco dunque un esempio in cui l'immagine della chiusura è strettamente contenuta nella chiusura dell'immagine.