Come "riconoscere" un luogo geometrico

[Luca D.]

Buona domenica a tutti.
Ero alle prese con vari studi di funzione, in cui una delle prime cose richieste è quella di disegnare il dominio della funzione.
Bene o male ho sempre incontrato domini determinati da intersezioni di luoghi geometrici noti, quindi facilmente riconoscibili.
Mi sono invece imbattuto in una funzione definita in:
$A = {(x, y) in R^2: x^2 - 1 <= y^2(1 - y^2)}$
che sinceramente non ho idea di come disegnare.
A sinistra della disuguaglianza posso vedere una parabola traslata, ma a destra.. non saprei.
Ho provato a disegnare separatamente i due trermini che vi sono a destra, cioè: $y^2$ e $1 - y^2$ e farne il prodotto, ma il problema principale è che non riesco ad individuare con precisione la frontiera di A e quindi le coordinate di eventuali punti singolari della frontiera.
Grazie per l'aiuto, ciao!

[codino75]

l'unica cosa che mi viene in mente per disegnare in modo qualitativo l'area descritta dalla disequazione e' di definire:
w=y^2

e quindi nel piano xw la frontiera dovrebbe essere facilmente disegnabile (se non ricordo male e' una circonferenza), e poi effettuare una "trasformazione dell'asse w"...

spero di averti dato qualche idea..........

ciao alex

[Luca D.]

l'unica cosa che mi viene in mente per disegnare in modo qualitativo l'area descritta dalla disequazione e' di definire:
w=y^2

e quindi nel piano xw la frontiera dovrebbe essere facilmente disegnabile (se non ricordo male e' una circonferenza), e poi effettuare una "trasformazione dell'asse w"...

spero di averti dato qualche idea..........

ciao alex

Posto $w =y^2$ abbiamo:
$x^2 + (w - 1/2)^2 - 5/4 <= 1$
$x^2 + (w - 1/2)^2 <= 9/4$
che rappresenta un cerchio di centro $(0, 1/2)$ e raggio $3/2$. Bello!
Quindi.. se prima dovevo studiare $f(x, y)$ in $A = {(x, y) in R^2: x^2 - 1 <= y^2(1 - y^2)}$
Ora?
E' la stessa cosa che studiare $f(x, sqrt(w))$ in $A = {(x, w) in R^2: x^2 + (w - 1/2)^2 <= 9/4}$
Non sono sicuro se devo studiare $f(x, sqrt(w))$ o $f(x, w)$..
Grazie per l'idea!

[codino75]

cosa intendi precisamente per "studiare"?

[Camillo]

Io trasformo la disequazione iniziale in $ x^2 <= 1+y^2-y^4 $ .
Studio poi la funzione $ x = +-sqrt(1+y^2-y^4) $ che è pari e quindi simmetrica anche rispetto all'asse x con i soliti metodi, calcolando la derivata prima etc...
La regione di piano (che include senz'altro l'origine ) sarà quella interna alla linea chiusa rappresentata dall'espressione indicata sopra.

[Luca D.]

Per Camillo: direi che la tua idea non e' male, pero' poi la frontiera risultante non e' molto facile da studiare, mentre se l'idea che ha introdotto codino (che ora provo a continuare) e' corretta, la frontiera risulta molto piu' semplice.

Quindi, la mia funzione iniziale da studiare era $f(x, y) = x^3$ in $A = {(x, y) in R^2: x^2 - 1 <= y^2(1 - y^2)}$
Codino proponeva di trasformare A in $A = {(x, w) in R^2: x^2 + (w - 1/2)^2 <= 9/4}$

Ora la circonferenza possiamo parametrizzarla con:
$x = 3/2 * cos(theta)$
$w = 1/2 + 3/2 * sin(theta)$
con $0 <= theta <= 2pi$

Quindi studiamo f lungo la circonferenza:
$f(3/2 * cos(theta), 1/2 + 3/2 * sin(theta)) = (3/2 * cos(theta))^3 = g(theta)$
$g'(theta) = 27/8 * 3cos^2(theta) * (-sin(theta))$
Studiando il segno di questa derivata troviamo che:
- per $theta = 0$ -> MASSIMO per g (e per f) -> $x = 3/2$
- per $theta = pi/2$ -> FLESSO per g (SELLA per la f) -> $x = 0$
- per $theta = pi$ -> MINIMO per g (e per f)-> $x = -3/2$
- per $theta = 3/2pi$ -> FLESSO per g (SELLA per la f) -> $x = 0$

Ha senso tutto cio'?

[Fioravante Patrone]

- per $theta = pi/2$ -> FLESSO per g (SELLA per la f) -> $x = 0$

- per $theta = 3/2pi$ -> FLESSO per g (SELLA per la f) -> $x = 0$

non capisco: FLESSO per g (SELLA per la f)
vuoi dire che avere un punto di flesso per $f$ è come avere un punto di sella per $g$?

devi fornire le prove di quanto affermi

[Luca D.]

- per $theta = pi/2$ -> FLESSO per g (SELLA per la f) -> $x = 0$

- per $theta = 3/2pi$ -> FLESSO per g (SELLA per la f) -> $x = 0$

non capisco: FLESSO per g (SELLA per la f)
vuoi dire che avere un punto di flesso per $f$ è come avere un punto di sella per $g$?

devi fornire le prove di quanto affermi

Io ero proprio convinto di si!!
Non posso quindi sapere solo con queste informazioni che tipo di punto critico sia?
Grazie per avermi corretto una tale convinzione!

[Fioravante Patrone]

no, attenzione, io mi riferivo solo ed esclusivamente al legame che tu consideravi fra un punto di flesso (sulla frontiera) ed un punto di sella

in generale non c'è alcun legame! Suggerimento: fatti un po' di esempi facili facili, tipo $x^3 + y^2$ e $x^2 - y^2$, considerando come vincoli gli assi

comunque, se il tuo punto di flesso sulla frontiera
- ha tangente orizzontale (se non ha tangente orizzontale, ovviamente non hai né max né min)
- è "stretto" (cioè, la funzione $g$ sta strettamente sotto la retta tangente a sx e strettamente sopra a dx (o viceversa)
allora ovviamente il punto non è né di max né di min per $g$ (ovvero, per $f$ ristretta alla frontiera) e quindi non lo è nemmeno per $f$

NB: corretto: avevo scritto "allora non ovviamente" (il che non ha molto senso...), invece di "allora ovviamente"

[Luca D.]

Giusto per chiarire riprendo una funzione che ho appena studiato:
$f(x, y) = x^3 - 6xy + 3y^2 + 3x$
Il gradiente si annulla in (1, 1), punto per cui il determinante dell'Hessiana vale 0.
Studiamo la funzione lungo la bisettrice del primo quadrante:
$f(t, t) = t^3 - 6t^2 +3t^2 + 3t = t^3 - 3t^2 + 3t = g(t)$
$g'(t) = 3t^2 - 6t + 3$
che e' >= 0 per ogni t e vale 0 per t = 1.
Quindi per t = 1 abbiamo un flesso per la g. Posso concludere che abbiamo una sella per la f?