dubbio algebra lineare

[leev]

Sia una A matrice $m x n$ di rango completo (cioè massimale per le righe o per le colonne),
se $m>=n, rang(A) = n$, la matrice è detta regolare per colonne
se $m<=n, rang(A)=m$, la matrice è detta regolare per righe.

Fino a qua tutto ok, ora si dice però
se $A in RR^{m,n}$ è di rango completo e $X sube RR^n$ è un sotto spazio di $RR^n$, allora $AX := {y=Ax|x in X}$ è un sotto spazio di $RR^m$ e $dim(AX)=dim(X)$.

Ecco, quest'ultima cosa sulle dimensioni, che dovrebbe essere evidente..ma ho un qualche problema a dimostrarla.
Il caso $m>=n$ non mi crea problemi.
Ma l'altro...vedo che A è suriettiva, però non basta per farmi dire che il nucleo è nullo (e quindi anche volendo dimostrare la cosa con dei vettori $x_1,...,x_l$ di X e $Ax_1,...,Ax_l$ di $AX$ non mi riesce).

[DavidHilbert]

[...] ora si dice però se $A in RR^{m,n}$ è di rango completo e $X sube RR^n$ è un sotto spazio di $RR^n$, allora $AX := {y=Ax|x in X}$ è un sotto spazio di $RR^m$ e $dim(AX)=dim(X)$.

Ecco, quest'ultima cosa sulle dimensioni, che dovrebbe essere evidente..ma ho un qualche problema a dimostrarla.

Probabilmente non riesci a dimostrarla perché è falsa: ammetti A = [1 0] ed $X = RR^2$. Allora $AX = RR$, e però 1 = dim(AX) $\ne$ dim(X) = 2.

[leev]

Grazie!!!
Irritante visto il tempo che c'ho buttato via ma vabbé...

ciao!