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Si consideri nel piano cartesiano la quartica
di equazione:
<b>y=x^4-10x^2+3x+a</b>
con <b>a</b> dato.
Determinare l'equazione della retta che intersechi
la curva in 4 punti distinti M1,M2,M3,M4 (x1<x2<x3<x4 )
tali che risulti:
<b>M1M2=M2M3=M3M4</b>
Risposta: <b>y=3x+a-9</b>.
karl.



Modificato da - karl il 20/02/2004 22:37:59

Essendo M1-M4 soluzioni anche della retta, questo vuol dire che x1-x4 sono ognuno a distanza d dall'altro.
Una generica equazione che si annulla in detti punti è del tipo:
(x - x1)·(x - (x1 + d))·(x - (x1 + 2·d))·(x - (x1 + 3·d))=0

che sviluppata diviene:

x^4 - 2·x^3·(2·x1 + 3·d) + x^2·(6·x1^2 + 18·x1·d + 11·d^2) - 2·x·(2·x1^3 + 9·x1^2·d + 11·x1·d^2 + 3·d^3) + x1·(x1 + d)·(x1 + 2·d)·(x1 + 3·d)=0

i coefficienti x1 e d devono essere tali che sia uguale a

x^4-10x^2+3x+a-bx-c=0 con b e c coefficienti della retta

dunque:

(2·x1 + 3·d) =0
(6·x1^2 + 18·x1·d + 11·d^2)= 10

che ha come unica soluzione x1=-3 e d=2 e dunque x2=-1, x3=+1 x4=+3

Si ricava immediatamente b=3 e c=a-9

Soluzione diversa dalla mia,ma comunque ottima.
Saluti da karl.