Dimostrazione: Ortogonali -> Lineramente indipendenti

[emitrax]

Qualcuno saprebbe aiutarmi a dimostrare che se dei vettori sono ortogonali sono anche linearmente indipendenti?

Grazie.

[DavidHilbert]

Sia $H$ un K-spazio lineare dotato di prodotto interno. Ammettiamo $K = RR$ oppure $K = CC$. In entrambi i casi, se $u, v \in H$ ed $u$ è ortogonale a $v$, allora [1] $(au + bv, u) = a (u,u) + b (v, u) = a |u|^2$, e similmente [2] $(au + bv, v) = b |v|^2$, dove $( , )$ indica il prodotto interno di $H$, $| \cdot |$ è la norma indotta ed $a, b \in K$ sono generici coefficienti scalari. Se $u, v$ sono l.d., esistono $a, b \in K$, non contemporaneamente nulli, tali che $au + bv = 0$. Allora $b |v|^2 = a |u|^2 = 0$, viste la [1] e la [2]. Perciò $u = 0$ oppure $v = 0$. Questo dimostra che la tesi proposta è falsa, a meno di non assumere - come ipotesi aggiuntiva - che $u$ e $v$ siano vettori non nulli.

[kinder]

supponi di avere n vettori ortogonali. In quanto ortogonali, il prodotto scalare di ogni loro coppia è nullo.

Supponi di poter scrivere uno di essi come combinazione lineare degli altri. Se lo moltiplichi scalarmente per se stesso ottieni il quadrato della sua norma. Ora moltiplica scalarmente per esso la combinazione lineare degli altri, che supponi possa rappresentare il vettore. Otterrai una somma di prodotti scalari nulli (data l'ortogonalità di tutte le coppie), quindi zero, che dovrebbe essere uguale al quadrato della norma. Ciò è assurdo.

[emitrax]

Grazie mille. Ho capito! Gentilissimi entrambi.