da DavidHilbert » 03/01/2007, 14:08
Sia $H$ un K-spazio lineare dotato di prodotto interno. Ammettiamo $K = RR$ oppure $K = CC$. In entrambi i casi, se $u, v \in H$ ed $u$ è ortogonale a $v$, allora [1] $(au + bv, u) = a (u,u) + b (v, u) = a |u|^2$, e similmente [2] $(au + bv, v) = b |v|^2$, dove $( , )$ indica il prodotto interno di $H$, $| \cdot |$ è la norma indotta ed $a, b \in K$ sono generici coefficienti scalari. Se $u, v$ sono l.d., esistono $a, b \in K$, non contemporaneamente nulli, tali che $au + bv = 0$. Allora $b |v|^2 = a |u|^2 = 0$, viste la [1] e la [2]. Perciò $u = 0$ oppure $v = 0$. Questo dimostra che la tesi proposta è falsa, a meno di non assumere - come ipotesi aggiuntiva - che $u$ e $v$ siano vettori non nulli.