Volume

[Fioravante Patrone]

per il dominio ho considerato che lavoriamo su yz, quindi x=0, diventa:

$D_(yz)={(y,z)inRR^2|y^2+(z-1)^2<=1,y^2+z^2<=1}

no aspe... un pò di precisione che devo imparare... come hai trovato questo dominio?

non devi mica considerare la proizione del dominio iniziale sul piano $y,z$???...

il che è diveso dall'intersecare il dominio con il piano x=0!

veri entrambi...

ovviamente va considerata la proiezione!

ma la proiezione coincide con l'intersezione per $x=0$ (è la zona più "grassa" del dominio di integrazione)

s.e.o.

[Thomas]

che coincidano lo so... ma ripeto, sto cercando di imparare... e gli "ovviamente" in questa fase sono banditi

[luca.barletta]

capisco che quel "quindi" usato da me era poco indicato, per fortuna Thomas è sempre attento

[Thomas]

si... scusa la pedanteria ... in effetti forse sono eccessivo, ma ho bisogno di certezze ...

grazie mille cmq luca... mi state dando una grossa mano!!

[Fioravante Patrone]

Thomas,
volevo solo sottolineare che devi sempre considerare la proiezione.
Senza eccezione alcuna.
Per questo motivo dicevo che era "ovvio" che si dovesse considerare la proiesione.

Non volevo minimamente dire che le cose siano ovvie, facili, banali!

ciao


PS: sai come (secondo me, naturalmente) si imparano gli integrali multipli? Esattamente come stai facendo tu: facendone abbastanza...
Bisogna farsi venire un po' di "occhio".
Secondo me è molto importante riuscire a vedere le figure.

[Piera]

Se non ho commesso errori, mi pare che il passaggio a coordinate cilindriche porti a calcoli agevoli ed ha il vantaggio di non considerare come è fatta la figura.
Ponendo
$z-1=rcos(theta)$
$y=rsen(theta)$
$x=x$
si ottiene
$|x|<sqrt(1-r^2) , 0<r<-2cos(theta) , -2/3pi<theta<-pi/2 , pi/2<theta<2/3pi$,
da cui
$int_D(dxdydz)/sqrt(2z-z^2-y^2)=2*int_(pi/2)^(2/3pi)int_0^(-2cos(theta))2r*dr*d(theta)=2*int_(pi/2)^(2/3pi)4cos^2(theta)d(theta)=2/3pi-sqrt3$
Vi torna il mio risultato?

[Fioravante Patrone]

siamo tornati all'inizio...
la strada che proponi è quella iniziale di Thomas
osservo anche che usare coordinate cilindriche è identico all'usare la strada di luca.barletta e poi applicare le coordinate polari per risolvere l'integrale doppio che corrisponde al calcolo dell'area della proiezione (moltiplicata per 2)
la differenza sta solo nel fatto che tu segui, per l'appunto, la strada di Thomas, che poneva $t = z-1$


mi incuriosisce la tua osservazione:
"ed ha il vantaggio di non considerare come è fatta la figura"
visto che evidentemente si riferisce al mio "PS" del post precedente, vorrei capire se secondo te quanto dicvevo:
"Secondo me è molto importante riuscire a vedere le figure"
è una indicazione sbagliata
o se semplicemente intendi notare (cosa diversa) che, in certi casi, è ovvio come sia fatta la figura

[Piera]

Sinceramente Fioravente non avevo letto il tuo post... intendevo dire che a volte non è facile vedere come è fatta la figura e cambiare le variabili aiuta a scrivere il dominio in forma normale. Anche secondo me è molto importante riuscire a vedere le figure.
Sono intervenuto perchè Thomas ha detto che gli veniva un procecimento lungo e calcoloso e a me questo non sembra. Anche se potrei aver commesso qualche errore:
sostituendo le coordinate cilindriche nella prima equazione ottengo $|x|<sqrt(1-r^2)$,
nella seconda invece si ha $r<-2cos(theta)$, siccome dalla prima relazione $0<r<1$ occorre che $0<-2cos(theta)<1$ che risolta dà $-2/3pi<theta<-pi/2 , pi/2<theta<2/3pi$.
A me sembra possa andare...

[Thomas]

ok Piera... il risultato torna lo stesso anche a me (dopo aver messo a posto qualche errore di calcolo )... ti ringrazio tantissimo per avere esplicitato i calcoli, che così ho messo a posto delle cose cose che non andavano nei miei (alcune davvero ridicole, tipo non ho esplicitato un arccos(1/2).. mi vergogno un pò in effetti )...

il procedimento c'era (questo mi rincuora), ma c'erano anche degli errori tecnici e banali che non ci sarebbero dovuti essere: devo rafforzarmi nei calcoli...

grazie mille ed alla prox!!!!!