Intersezione di due sottospazi

[folgore]

Salve a tutti!!!avrei un problema…ho due sottospazi :
V=((a+b,a-b,2a+b,a-2b))in R^4 e U=L((2e2+e3+3e4)) dove e2,e3,e4 è la base canonica di R^4.
determinare la base della loro intersezione
Ora sapendo che la base di V è: ((1,1,2,1),(1,-1,1,-2)) e chiaramente la base di U è:
((0,2,1,3)) come faccio a determinare la base della loro intersezione???
Io credo che dovrei mettere a sistema i vettori della base e poi risolvere il sistema ma come si fa a metterli a sistema io ho provato mettendo i vettori delle basi in forma matriciale e ottenendo le rispettive equazioni cioè:

1 –1 1 –2 0 2 1 3
1 1 2 1 x y z t
x y z t

-3x-y +2z = 0 -6x-4y-z+3t = 0
x-3y+2t = 0

Le ho messe tutte e tre a sistema e ho trovato queste soluzioni:
z = 1/3t
x = 0
y = 2/3t

Ora la soluzione che mi dà il libro è che la base della loro intersezione è proprio la base del sottospazio U….e qui mi sono bloccato….si possono moltiplicare per 3 le soluzioni trovate ottenendo ((0,2,1,3))….

Grazie a tutti!!

[Tipper]

Se hai trovato $x=0$, $z=\frac{1}{3}t$, $y=\frac{2}{3}t$ significa che un base è data dal vettore $(0,\frac{2}{3},\frac{1}{3},1)$, oppure da tutti i suoi multipli, cioè da $\alpha(0,\frac{2}{3},\frac{1}{3},1) \quad \alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, quindi anche da $(0,2,1,3)$.

[folgore]

Ti ringrazio per avermi risposto....un'altra cosa:
Potete dirmi se è fatto bene questo esercizio??l'ho svolto tutto interamente....

Dire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi e perché;trovare una base di quelli che sono sottospazi.

H1 = ((0,0,0,0),(1,-1,1,-1),(-1,1,-1,1))
H2 = ((a,a,b,0):a,b di R)
H3 = ((x,y,z) di R^3 : x-2y = 0 )
Io l’ho svolto così :

H1 è un sottospazio perché contiene il vettor nullo.Però nn ammette alcuna base perché i vettori di H1 sono linearmente dipendenti.

H2 è un sottospazio perché contiene anch’esso il vettor nullo.
Ha come base i vettori l.i.(0,0,1,0),(1,1,0,0)).

H3 è un sottospazio perché contiene anch’esso il vettor nullo e inoltre considerando i due vettori

h1= (x1,y1,z1) con x1 –2y1 = 0
h2 = (x2,y2,z2) con x2 –2y2 = 0
h = h1+h2 = (x1+x2,y1+y2,z1+z2).
Dato che (x1+x2)-2(y1+y2) = (x1 –2y1)+( x2 –2y2)= 0 il vettore h soddisfa la condizione che caratterizza gli elementi di H3 e quindi è un vettore di H3.
Dato che per ogni k appartenente a R h*= kx1 –2ky1= 0 k(x1 –2y1) = 0 dunque anche h* è un vettore di H3.Quindi H3 è un sottospazio vettoriale di R^3.

Grazie ancora a tutti per la disponibilità!!Grazie anche a te Tipper!!

[Tipper]

Se $H1$ contiene solo quei tre vettori non è uno spazio vettoriale, in quanto non è chiuso rispetto all'operazione di prodotto per scalare. Ad esempio il vettore $2 \cdot (1,-1,1,-1)=(2,-2,2,-2)$ non appartiene ad $H1$. Se invece con quella scrittura intendi che $H1$ è lo spazio generato da quei vettori, allora $H1$ è uno spazio vettoriale. In quest'ultimo caso una base sarebbe data dal vettore $(1,-1,1,-1)$.

Gli altri due invece sono spazi vettoriali, in quanto sono chiusi rispetto alle operazioni di somma e di prodotto per scalare, inoltre rispettano le proprietà su tali operazioni.

[folgore]

Si credo che l'esercizio intenda dire che H1 è lo spazio generato da quei vettori...ma la sua base hai detto che è (1,-1,1,-1)
perchè non dipende dagli altri due vettori...??se si come si fa a capirlo???perchè io credevo che erano tutti e tre dipendenti anche perchè nella sequenza c'era il vettor nullo quindi era legata cioè aveva vettori linearmente dipendenti....

[Tipper]

Il metodo più semplice secondo me è questo: prendi quei vettori, e costruisci una matrice in cui ogni vettore sia una riga.
Riduci la matrice a scala per righe, le righe diverse dal vettore nullo saranno la base dello spazio.