prodotto di matrici

[fu^2]

quando si fa il prodotto tra due matrici, per esempio AB, esso si può fare solo se il numero di colonne della matrica A è ugulae al numero di righe della matrice B.

ma, mettiamo che le due matrici non hanno questa corrispondenza tra righe e colonne, non posso moltiplicarle tra loro?...
da quello che ho studiato ho capito così, però mi sembra strano...

[Camillo]

E' proprio come pensi e se il prodotto righe per colonne si può fare, le matrici si dicono conformabili .
Se la matrice A consiste di m righe e n colonne , diciamo ( m,n ) e la matrice B diciamo (n,p ) allora il prodotto è fattibile e si otterrà una matrice C ( m,p ) .

Di conseguenza il prodotto B*A non è fattibile, il che significa che la relazione di conformabilità tra matrici non è simmetrica.

Certamente il prodotto righe per colonne è definito in un modo che può apparire strano ma è motivato dall'operazione di sostituzione di variabili.
Supponiamo di avere certe funzioni lineari $y_1,y_2,y_3 $ delle variabili $ x_1,x_2 $ :

$y_1 = a_(11)x_1+a_(12)x_2$
$y_2 = a_(21)x_1+a_(22)x_2 $
$ y_3 = a_(31)x_1+a_(32)x_2 $



In molti casi , le funzioni $y_i $ servono a loro volta da variabili per altre funzioni.
Siano $z_1,z_2 $ queste nuove funzioni, ancora lineari.
Supponiamo cioè che le $ z_i $ siano " funzioni di funzione " delle variabili $x_i$, attraverso le variabili intermedie $y_i $ :

$z_1 = b_(11)y_1+b_(12)y_2+b_(13)y_3 $
$z_2 = b_(21)y_1+b_(22)y_2+b_(23)y_3 $

Qual è la matrice che esprime direttamente le $z_i$ in funzione delle variabili $x_i$ ?
Basta sostituire e riordinare e si ottiene :

$z_1 = (b_(11)a_(11)+b_(12)a_(21)+b_(13)a_(31))x_1+(b_(11)a_(12)+b_(12)a_(22)+b_(13)a_(a32)) x_2 $
$z_2 = ( b_(21)a_(11)+b_(22)a_(21)+b_(23)a_(31))x_1+ (b_(21)a_(12)+b_(22)a_(22)+b_(23)a_(32)) x_2 $

Scrivendo adesso le relazioni precedenti in forma matriciale si ha :
$ Y = A*X $
$Z =B*Y $
e quindi : $ Z = (B*A) *X $
ed ecco il prodotto righe per colonne tra le matrici A , B come si può verificare facilemnte ; inoltre $ A= ( 3,2) ; B=(2,3 )$ e $B*A = ( 2,2 ) $

[Fioravante Patrone]

tre risposte:

- la prima, banale: no, non si può. La regola è così

- la seconda, un po' meno banale: nulla ti vieta di definire un altro prodotto tra matrici, che si possa sempre fare.

- la terza, quella seria: il consueto prodotto fra matrici è quello righe per colonne, perché è quello che emerge in molti contesti. In primis, ti permette di fare un parallelismo importante con la composizione di applicazioni lineari. Questo prodotto "righe per colonne", per poter essere fatto, richiede le condizioni che dici e che ha ribadito Camillo. A volte se ne usano anche altri. Per esempio quello definito come $c_{ij} = a_{ij} * b_{ij}$. Non mi ricordo dove, ma so di averlo visto usare (forse nella teoria delle relazioni).