da Camillo » 06/01/2007, 19:35
E' proprio come pensi e se il prodotto righe per colonne si può fare, le matrici si dicono conformabili .
Se la matrice A consiste di m righe e n colonne , diciamo ( m,n ) e la matrice B diciamo (n,p ) allora il prodotto è fattibile e si otterrà una matrice C ( m,p ) .
Di conseguenza il prodotto B*A non è fattibile, il che significa che la relazione di conformabilità tra matrici non è simmetrica.
Certamente il prodotto righe per colonne è definito in un modo che può apparire strano ma è motivato dall'operazione di sostituzione di variabili.
Supponiamo di avere certe funzioni lineari $y_1,y_2,y_3 $ delle variabili $ x_1,x_2 $ :
$y_1 = a_(11)x_1+a_(12)x_2$
$y_2 = a_(21)x_1+a_(22)x_2 $
$ y_3 = a_(31)x_1+a_(32)x_2 $
In molti casi , le funzioni $y_i $ servono a loro volta da variabili per altre funzioni.
Siano $z_1,z_2 $ queste nuove funzioni, ancora lineari.
Supponiamo cioè che le $ z_i $ siano " funzioni di funzione " delle variabili $x_i$, attraverso le variabili intermedie $y_i $ :
$z_1 = b_(11)y_1+b_(12)y_2+b_(13)y_3 $
$z_2 = b_(21)y_1+b_(22)y_2+b_(23)y_3 $
Qual è la matrice che esprime direttamente le $z_i$ in funzione delle variabili $x_i$ ?
Basta sostituire e riordinare e si ottiene :
$z_1 = (b_(11)a_(11)+b_(12)a_(21)+b_(13)a_(31))x_1+(b_(11)a_(12)+b_(12)a_(22)+b_(13)a_(a32)) x_2 $
$z_2 = ( b_(21)a_(11)+b_(22)a_(21)+b_(23)a_(31))x_1+ (b_(21)a_(12)+b_(22)a_(22)+b_(23)a_(32)) x_2 $
Scrivendo adesso le relazioni precedenti in forma matriciale si ha :
$ Y = A*X $
$Z =B*Y $
e quindi : $ Z = (B*A) *X $
ed ecco il prodotto righe per colonne tra le matrici A , B come si può verificare facilemnte ; inoltre $ A= ( 3,2) ; B=(2,3 )$ e $B*A = ( 2,2 ) $
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Camillo il 06/01/2007, 20:12, modificato 2 volte in totale.
Camillo