da Nidhogg » 07/01/2007, 12:54
Giusta precisazione!
Io volevo fare due considerazioni:
(1) Se gli elementi di un insieme finito $X sube V$ sono linearmente indipendenti, allora anche gli elementi di un qualunque sottoinsieme non vuoto $Y sube X$ sono linearmente indipendenti. Ad esempio, supponiamo che $v_1,v_2,...,v_t$ sono linearmente indipendenti. Sia $alpha_1*v_1+alpha_2*v_2+...+alpha_t*v_t=0$ una loro combinazione lineare nulla. Allora dall'uguaglianza $alpha_1*v_1+alpha_2*v_2+...+alpha_t*v_t+0*v_{t+1}+...+0*v_m=0$ e dall'indipendenza lineare di $v_1,v_2,...,v_m$ segue che $alpha_i=0$ per ogni $i=1,2,...,t$. Quindi $v_1,v_2,...,v_t$ sono linearmente indipendenti. Estendendo questo risultato anche al caso del sottoinsieme vuoto, anche quest'ultimo risulta essere un insieme di vettori linearmente indipendenti.
(2) Per ogni spazio vettoriale $V$ si ha $(:O/:)={0_V}$, cioè il sottoinsieme vuoto genera il sottospazio nullo ${0_V}$ di $V$. (Quindi in particolare lo spazio vettoriale $V$ è lo spazio vettoriale nullo avente un unico elemento se e solo se l'insieme vuoto è un'insieme di generatori per $V$.)
Quindi data la seguente proposizione: "Se $V$ è uno spazio vettoriale su un campo $K$, $v_1,v_2,...,v_m$ sono $m>=1$ vettori appartenenti a $V$, $X={v_1,v_2,...,v_m}$ e $(:X:)$ è il sottospazio vettoriale di $V$ generato da $X$, allora $(:X:)={alpha_1*v_1+alpha_2*v_2+...+alpha_m*v_m|alpha_1,alpha_2,...,alpha_m in K}$", possiamo scrivere il vettore nullo $0_V$ come combinazione lineare di un insieme vuoto di vettori.
"Una delle principali cause della caduta dell'Impero Romano fu che, privi dello zero, non avevano un modo per indicare la corretta terminazione dei loro programmi C." - Robert Firth