superfici e bordi

[Yak52]

una domanda forse banale...

l'affermazione "qualunque superficie chiusa non ha bordo" è esatta?

per esempio la sfera non ha bordo, ma un cubo non saprei... il fatto è che forse mi manca una definizione esatta di bordo.


grazie[/u][/list][/code][/quote][/list]

[wedge]

per quanto ne so è propro una definizione: una superficie si dice chiusa quando non ha bordo (forse è richiesto anche che sia limitata, altrimenti pure il piano infinito potrebbe essere detto chiuso e mi sembra controintuitivo, su questo aspettiamo qualcuno di più esperto di me)

il cubo (o meglio: la superficie del cubo) non è regolare ma è chiuso e non ha bordo.

per la definizione di bordo:
come sai si dicono interni i punti della superficie con un intorno che che può essere messo in relazione 1-1 con un sottoinsieme di E^2.
il bordo è la chiusura dell'insieme dei punti interni meno l'insieme stesso.

ciao!

[anonymous_af8479]

Ammetto che la topologia sia un campo minato (specialmente per me che mi ci sono avvicinato da vecchio ...).

Comunque provo a dire la mia.

Da quel che ho capito, nella teoria delle superficie regolari (mi limito a quelle, perchè la materia è già talmente difficile che complicarla togliendo il vincolo della regolarità mi sembra non conveniente ...) si devono prendere in considerazione due topologie :

(1) la topologia naturale (con corrispondente metrica) di $R^3$ di cui una superfice è sottoinsieme

(2) la topologia intrinseca della superficie.

Queste due topologie poi si "intrecciano" in una "danza" molto avvincente ...

Sulla topologia (1) niente da dire. Sulla topologia (2), invece, occorre avere le idee chiare.

Siccome una superficie regolare è per definizione un insieme di $R^3$ localmente diffeomorfo ad $R^2$, la topologia (2) la si costruisce sulla superficie per omeomorfismi a partire da $R^2$.

Ci possono essere allora delle ambiguità. Per esempio, nella topologia (1) qualsiasi punto di una superficie è anche punto di frontiera mentre per la la topologia (2) il bordo è solo quello di cui tutti abbiamo una idea intuitiva.

Per il concetto di insieme chiuso, le due visioni vanno d'accordo. Un piano è una superficie chiusa sia per (1) che per (2). Esso non possiede bordo (per (2)).

Le cose, come ben si vede, sono molto complicate.

Penso che si debba chiarire anche che un disco chiuso (che contiene il suo bordo) non è una superfcie regolare mentre un disco aperto lo è.

Ecco allora perchè l'affermazione iniziale "qualunque superficie chiusa non ha bordo" potrebbe essere esatta !!!

Il piano è chiuso e non ha bordo. Il disco chiuso, che apparentemente potrebbe contraddire l'asserto, non è una superfcie regolare !!!

Avrò detto cose giuste ? Spero che qualcuno corregga i miei errori ...

ps. più che le superficie chiuse, sono interessanti le superficie compatte, per cui il piano non è compatto ...

Altra osservazione. Su una superficie regolare è poi possibile costruire una topologia metrica in cui la distanza fra due punti è data dalla lunghezza della geodetica fra essi. Tale topologia sarà equivalente a (2) ? Questo ancora lo devo capire bene ...