sistema ortogonale completo

[Fioravante Patrone]

corretto! Accidenti, che precisini, questi matematici...


vedi, ad esempio:
http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html
dove viene detto che bisogna applicare G-S a ${1,x,x^2,\ldots,x^n,\ldots}$ e poi dividere per $P_n(1)$ (se chiamiamo $P_n$ l'ennesimo polinomio ottenuto con G-S) per ottenere $u_n$
insomma, sono una base ortogonale completa, non ortonormale: $<u_n,u_n> = 2/(2n+1)$


oltretutto, quelli di wedge ${u_n = d^n /(dx^n) (x^2-1)^n }$ NON sono i polinomi di Legendre. C'è di mezzo una costante moltiplicativa, che non compare nella formula di wedge (infatti, il suo prof gli chiedeva di dim che è una parte ortogonale completa, non ortonormale)


quelli di Legendre sono: ${u_n = (1/(2^n \cdot n!)) d^n /(dx^n) (x^2-1)^n }$

s.e.o........

[Camillo]

I polinomi di Legendre sono soluzione dell'equazione differenziale di secondo ordine, detta appunto di Legendre :

$ (1-x^2) y'' -2x y' +n(n+1) = 0 $ che si può anche riscrivere nella forma :

$d/dx[(1-x^2)y'] +n(n+1)y = 0 $.

Ed ecco il grafico dei polinomi $P_1 .. P_5 $ .

[luca.barletta]

Per i più curiosi: c'è un bel collegamento tra ortogonalizzazione GS e fattorizzazione matriciale QR

[Thomas]

what are u talking about, luca???

[Camillo]

Son curioso anch'io...

[luca.barletta]

Conosci la fattorizzazione QR? In pratica data una matrice quadrata A a coefficienti reali o complessi, essa è sempre decomponibile in A=QR dove Q è una matrice ortogonale e R triangolare superiore. In parole povere Q conterrà una base ortogonale dello spazio, R la sintesi di A sulla base di Q.
Se i coeff sono complessi allora Q è unitaria.
Indovinate come si possono trovare Q e R? (domanda più che retorica)

[Thomas]

Suppongo A invertibile. Interpreto la matrice A come trasformazione lineare $f$ da $R^n$ in $R^n$, con base euclidea in andata ed in arrivo. Ora prendo $B_1=A(e_i), i=1..n$ che formano una base perchè A inv. Applico GS a questa base (prodotto scalare euclideo), trovando una nuova base B_2.

se pongo

R=matrice rappresentativa di $f$ dalla base euclidea nella base $B_2$;

Q=cambiamento di coordinate dalla base B_2 alla base euclidea;


R dovrebbe essere triangolare e Q ortogonale e vale A=QR... anche se ora non ho tempo di controllare se è effettivamente vero, ad occhio direi di si...

[luca.barletta]

Provo a fare un piccolo esempio su una matrice 2x2:
sia $A=[ula_1,ula_2]$, $Q=[ulq_1,ulq_2]$ e $R=[[r_(11),r_(12)],[r_(21),r_(22)]]$, procedo con l'ortogonaliz.:
$ulq_1=(ula_1)/(||ula_1||)=(ula_1)/(r_(11))$, cioè $ula_1=r_(11)ulq_1$
$ulq_2=(ula_2-(ula_2^Hulq_1)ulq_1)/(||ula_2-(ula_2^Hulq_1)ulq_1||)=(ula_2-r_(12)ulq_1)/(r_(22))$, cioé $ula_2=r_(12)ulq_1+r_(22)ulq_2$
riarrangiando in forma matriciale:
$[ula_1, ula_2]=[ulq_1, ulq_2][[r_(11), r_(12)],[0 , r_(22)]]$

[Thomas]

beh luca... le matrici che trovi sono esattamente quelle che dicevo nel post precedente...

[luca.barletta]

sì, era giusto per mettere giù quello che non avevi voglia di fare