3 problemi

[luca.barletta]

del 1° o del 2°

[Aeon]

2)sia F(x,y)=$y^2i+2xyj$ calcola l'integrale di linea nel campo vettoriale da F(0,0) a F(1,1) lungo la parabola $ y=x^2$

Riscriviamo la forma differenziale lineare come $F(x,y)=M(x,y)hati+N(x,y)hatj$, poiché $M_y=N_x$ il campo vettoriale è conservativo, perciò F(1,1)-F(0,0) non dipende dalla particolare curva percorsa, invece di percorrere la parabola possiamo percorrere una spezzata:

$F(1,1) = F(0,0)+int_0^1 M(x,0)dx+int_0^1 N(1,y) dy$

non mi è chiaro lo svolgimento "numerico" dell'esercizio

[luca.barletta]

ho integrato sulla spezzata $Gamma={(y=0,0<=x<=1),(x=1,0<=y<=1):}

[Aeon]

ma prima avevavamo un campo vettoriale e il sistema, mentre ora abbiamo un campo vettoriale, una funzione e delle coordinate.
se nel primo caso si risolve nel modo (f(g(r)^2)*g'(r)

nel secondo caso cosa faccio?

[luca.barletta]

Le forme differenziali lineari esatte
$df(x,y)=X(x,y)dx+Y(x,y)dy$
si integrano così
$f(x,y)=int_(Gamma) X(x,y)dx+Y(x,y)dy+C$
si dice anche integrale di linea di 2a specie.
Per la teoria ti consiglio di consultare il libro o chiedere al prof, io potrei anche sbagliare

[Aeon]

2)sia F(x,y)=$y^2i+2xyj$ calcola l'integrale di linea nel campo vettoriale da F(0,0) a F(1,1) lungo la parabola $ y=x^2$

Riscriviamo la forma differenziale lineare come $F(x,y)=M(x,y)hati+N(x,y)hatj$, poiché $M_y=N_x$ il campo vettoriale è conservativo, perciò F(1,1)-F(0,0) non dipende dalla particolare curva percorsa, invece di percorrere la parabola possiamo percorrere una spezzata:



chi mi spiega questo passaggio?

[luca.barletta]

E' teoria: la forma differenziale lineare si dice esatta se e solo se $M_y=N_x$, se è esatta allora si integra come visto sopra.
Verifichiamo che sia esatta: $M_y=2y$, $N_x=2y$, lo è.
Questo equivale anche a dire che il campo vettoriale F è irrotazionale, o conservativo, cioè il lavoro speso per spostarti da $P_1$ a $P_2$ dipende solo da queste due punti e non dal particolare cammino $gamma$ tra i due punti

[Aeon]

E' teoria: la forma differenziale lineare si dice esatta se e solo se $M_y=N_x$, se è esatta allora si integra come visto sopra.
Verifichiamo che sia esatta: $M_y=2y$, $N_x=2y$, lo è.
Questo equivale anche a dire che il campo vettoriale F è irrotazionale, o conservativo, cioè il lavoro speso per spostarti da $P_1$ a $P_2$ dipende solo da queste due punti e non dal particolare cammino $gamma$ tra i due punti

ok, ma la mia F(x,y) come la scrivo ora?

[luca.barletta]

non capisco, è tutto svolto sopra: $M(x,y)=y^2$, $N(x,y)=2xy$

[Aeon]

e come si integra M(x,0)???
scusa ma ho le idee un po' confuse