problema di geometria

Messaggioda rocco.g » 11/03/2004, 21:01

Ciao a tutti ragazzi, vorrei se possibile il vostro aiuto nella risoluzione del problema...va beh non è che sia così difficile, anzi è abbastanza banale credo, solo che non avendo il risultato vorrei un riscontro con voi...
è un quesito che fa parte di un appello di geometria della facoltà di ingegneria_
Determinare l'equzione cartesiana della sfera tangente ai piani paralleli:

a: 2x+y+z-2=0 a': 4x+2y+2z-1=0

ed avente centro sull'asse z.

bene io ho consideto, dato che il centro si trova sull'asse z, che abbia coordinate (0,0,1). Poi per scrivere l'equazione della sfera serve conoscere il suo raggio. Dato che i due piani sono paralleli, ho pensato che se si calcola la retta di minima distanza perpendicolare al piano a ed a' e la si fa passare per il centro, questa dovrebbe rapprensentare il diametro, quindi il raggio sarebbe la sua metà. Va bene come ragionamento ? o è del tutto sbagliato ?
qualcuno di voi mi potrebbe suggerire cortesemente i passaggi pià salienti ? grazie...
rocco.g
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Messaggioda karl » 12/03/2004, 00:02

Avrei fatto cosi'.
Il diametro della sfera e' la distanza di un punto
qualunque del piano "a" dal piano " a' ".
Un punto di "a" e' (0,1,1) la cui distanza da " a' " e':
d=|2+2-1|/sqrt(24)=sqrt(6)/4.
Dunque il raggio della sfera e': r=sqrt(6)/8.
Sia ora C(0,0,t) il centro della sfera:esso deve avere
dai due piani distanza eguale,quindi:
|t-2|/sqrt(6)=|2t-1|/(2sqrt(6)
Da qui' si hanno due equazioni:
1)2t-4=2t-1 ----> nessuna soluzione
2)2t-4=-2t+1 ---->t=5/4
Pertanto C(0,0,5/4) e quindi l'equazione della sfera
risulta essere:
x^2+y^2+(z-5/4)^2=3/32.
karl.



Modificato da - karl il 11/03/2004 23:07:13
karl
 

Messaggioda rocco.g » 13/03/2004, 00:51

grazie per l'aiuto Karl :-)
rocco.g
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Messaggioda rocco.g » 13/03/2004, 16:21

mm ho guardato bene il procedimento, io l'avevo fatto + o - uguale, però come punto generico di a avev preso (2,1,1), come è che a te viene (0,1,1) ? forse mi sto confendendo tra il punto generico e i parametri direttori ?
rocco.g
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Messaggioda karl » 13/03/2004, 20:18

E' probabile che ti sia confuso:infatti 2,1,1
sono proprio i parametri direttori.
Del resto,il punto (2,1,1) non appartiene
al piano "a" ,come e' facile vedere sostituendo
nell'equazione di "a" le coordinate del punto
medesimo.Quanto al punto (0,1,1)
da me scelto ,questo puo' essere sostituito
da qualsiasi altro punto di "a" ad es (3,-2,-2)
purche' le sue coordinate soddisfino l'equazione
di "a" (tanto la distanza da "a' " non cambia).
karl.
karl
 

Messaggioda rocco.g » 14/03/2004, 15:10

ah grazie molte Karl ! ora ho capito tutto !!!
quindi posso scegliere qualsiasi punto basta che soddisfi l'equazione del piano, tu avevi scelto (0,1,1) dato che 2*0+1+1-2=0
grazie ancora...
rocco.g
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