Quadrilatero di area massima

Messaggioda karl » 18/03/2004, 23:38

Dimostrare che tra tutti i quadrilateri (convessi) articolati,
ovvero di dati lati,ha area massima quello inscrittibile
in un cerchio.
(Un problema classico:puo' essere risolto sia
analiticamente( accessibile) ,sia geometricamente
(piu' impegnativo)).
karl
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Messaggioda Pachito » 19/03/2004, 22:05

...Attendere prego....
Pachito
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Messaggio: 119 di 484
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Messaggioda arrigo » 20/03/2004, 13:22

E' stata dura (per i calcoli), ma credo di avercela fatta.

Dimostrazione analitica.

Procedimento :

1 - i 4 lati sono : a, b, c, d
2 - i 4 angoli interni ai vertici sono : alfa, beta, gamma, delta
3 - l'area è (1/2)a d sen alfa + (1/2)b c sen gamma
4 - le condizioni sono :
alfa + beta + gamma + delta = 2pi
a<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>+d<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>-2ad cos alfa = b<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>+ c<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>-2bc cos gamma
a<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>+b<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>-2ab cos beta = c<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>+ d<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>-2cd cos delta
5 - applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, trovo il massimo relativo condizionato che corrisponde (a conti fatti) alla condizione : alfa + gamma = pi .

Ciò si verifica solo se il quadrilatero è inscritto in un cerchio.

S.e. e o.

Bye.
arrigo
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Messaggioda karl » 20/03/2004, 14:00

Per arriama.
Certamente la tua soluzione e' ottima( dei tuoi calcoli
mi fido).Tuttavia il problema e' risolubile anche
elementarmente con un procedimento basato ,in parte,
sulle formule da te proposte.Se ne hai voglia,prova
ancora.
karl.
karl
 

Messaggioda arrigo » 20/03/2004, 15:07

Giusto !!!

Siccome l'area è funzione di alfa e gamma, basta esprimerla, per esempio, solo in funzione di alfa ecc. ecc.

Questa soluzione non richiede la conoscenza della teoria dei massimi e minimi condizionati (analisi II), però lo sviluppo dei calcoli è un po' "noioso", visto che si deve traformare il seno in coseno con relativa introduzione di radici e quadrati ...

La soluzione con i Lagrange è molto più elegante ed, in questo caso, non compaiono nè quadrati nè radici.

Esiste una soluzione più semplice ?

Bye.
arrigo
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Messaggio: 57 di 1330
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Messaggioda karl » 20/03/2004, 15:31

Ecco la possibile (non l'unica) soluzione
elementare.
Adoperando le tue notazioni,abbiamo (S=area quadr.)

<b>1)2S=a*d*sin(alfa)+b*c*sin(gamma)</b>

<b>2)a^2+d^-2a*d*cos(alfa) = b^2+ c^2-2*b*c*cos(gamma)</b>

Dalla (2) si ricava:

<b>3)H=1/2*(a^2+d^2-b^2-c^2)=a*d*cos(alfa)-b*c*cos(gamma)</b>

dove H e' una quantita' dipendente solo dai lati,quindi
nota.
Quadrando la (1) e la (3) e sommando si ottiene:

<b>4S^2+H^2=(a^2)*(d^2)+(b^2)*(c^2)-2*a*b*c*d)*cos(alfa+gamma)</b>

Poiche' H e' dato si vede che il max. di 4S^2 (e quindi di S)
si ha quando e' minimo cos(alfa+gamma) ovvero quando :
<b> alga+gamma=Pi (radianti)</b>. q.e.d.
karl.
karl
 


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