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Esiste un'applicazione lineare suriettiva $T:R^3 -> R^3$ tale che $e_1+e_3\in KerT$?

Applicazione lineare suriettiva, cioè che $dim(Im(T))=dim(R^3)$ giusto?
Visto che la dimensione dell'immagione di T è uguale al rango $Rg(T)=dim(Im(T))=3$, in questo caso.
Quindi le $dim(KerT)=0$ se non ha dimensioni come fanno $e_1+e_3\in KerT$?
Detto questo come ricavo la matrice e soppratutto come verifico il resto?

mi verrebbe da dirti che non esiste. sappiamo che un endomorfismo è iniettivo $hArr$ è suriettivo. il nucleo non è banale e quindi hai finito.
altrimenti con il teorema di nullità più rango posso dire (dato che almeno un elemento appartiene al kernel), che la dimensione dell'immagine non è 3.

cooper ha scritto:mi verrebbe da dirti che non esiste. sappiamo che un endomorfismo è iniettivo $hArr$ è suriettivo. il nucleo non è banale e quindi hai finito.
altrimenti con il teorema di nullità più rango posso dire (dato che almeno un elemento appartiene al kernel), che la dimensione dell'immagine non è 3.

Quindi questo esercizio ha un'applicazione lineare sia suriettiva che iniettiva, quindi biiettiva.
detto questo posso dire per certo che non esiste un'applicazione lineare suriettiva in questo caso?

quello che hai scritto è una contraddizione. dici che è bigettiva e dopo che non è suriettiva!
la tua applicazione non è nè suriettiva nè iniettiva.

cooper ha scritto:quello che hai scritto è una contraddizione. dici che è bigettiva e dopo che non è suriettiva!
la tua applicazione non è nè suriettiva nè iniettiva.

Dicendo che $e_1+e_3\in KerT$ è impossibile perchè essendo che sto cercando un'applicazione surriettiva, cioè in cui $dim(Im(T))$ è massima e la $dim(KerT)=0$...
quindi $e_1+e_3$ non posssono appartenere al nucleo giusto?

fai il ragionamento opposto. tu sai che quel vettore appartiene al nucleo, è un dato di fatto. sapendo questo può essere che un endomorfismo di $RR^3$ sia suriettivo? la risposta è no perchè la dimensione del nucleo è almeno 1.

cooper ha scritto:fai il ragionamento opposto. tu sai che quel vettore appartiene al nucleo, è un dato di fatto. sapendo questo può essere che un endomorfismo di $RR^3$ sia suriettivo? la risposta è no perchè la dimensione del nucleo è almeno 1.

Perfetto
Grazie

di nulla