Come rappresentare questa trasformazione?

[Blitzcrank97]

Ho un esercizio che dice:
Sia A la dilatazione che associa ad ogni vettore x in R^3 il vettore 3x Allora:
A. Nessuna delle seguenti
B. Ha autovalori -1 e 1
C. Non ha autovalori reali
D. ha l'autovalore triplo 3 e autospazio R^3
E. ha autovalori 0, 1, 3

Intanto come faccio a scrivere quella dilatazione sottoforma di matrice?
E poi per il calcolo degli autovalori devo fare A-lambda*matrice identità e calcolarne il determinante giusto? E trovo i valori di lambda.
Mentre per gli autospazi come si fa?

[gugo82]

Beh, ma $3\mathbf{x} = 3I\cdot \mathbf{x}$ anche nei peggiori bar di Caracas... O no?!?

[Blitzcrank97]

Beh si in effetti, era il primo tipo di esercizio così ed ero un po' spaesato ^^
Grazie mille, la risposta esatta è la D, in effetti facendo poi il determinante trovo $(3 - λ)^3=0$ che mi da come risultato $λ = 3$ con molteplicità 3, però cosa intende per autospazio $R^3$? Come lo deduco?

[vict85]

Moderatore: vict85

Sposto in geometria e algebra lineare.

[ush]

longo spacca

[SaraMorgantePiano]

L'autospazio relativo ad un autovalore \(\lambda\) è lo spazio generato dagli autovettori relativi a \(\lambda\); la dimensione dell'autospazio è detta moltepicità geometrica di \(\lambda\).
In questo esercizio, dato che \(m_{alg}(\lambda)=3\) e che \(1\le m_{geom}(\lambda)\le m_{alg}(\lambda)\), puoi trovarti in uno dei seguenti casi:
1) \(m_{geom}(\lambda)=1\), l'autospazio di \(\lambda\) è una retta;
2) \(m_{geom}(\lambda)=2\), l'autospazio di \(\lambda\) è un piano;
3) \(m_{geom}(\lambda)=3\), l'autospazio di \(\lambda\) è tutto \(\mathbb{R}^3\).
Dato che \(m_{geom}(\lambda) = dim(Ker(A-\lambda I))\), in quest'esercizio ti trovi nel caso 3.