Dubbio su matrice del cambiamento di riferimento.

[mikelozzo]

Ciao a tutti!

Ho questo esercizio:
$(x-2y)^2+2(x+z+1)^2-z^2+1=0$ e devo dire a quale forma canonica può essere associata.

Effettuando un cambio di variabili del tipo: $(x-2y=X) ; (x+z+1=Y) ; (z=Z)$ posso ottenere la forma canonica $X^2+2Y^2-Z^2=-1$ che fa parte della famiglia degli iperboloidi ellittici.... ma... c'è sempre quel cacchio di "ma"..

il libro dice "bisogna osservare che la matrice E dei coefficienti x,y,z è una matrice regolare (cioè invertibile) ma non una matrice ortogonale (infatti seconda e terza colonna di E non sono ortogonali e sono di norma diversa da 1) --> pertanto tale sostituzione rappresenta un cambiamento di riferimento non cartesiano" per cui in effetti non conosciamo i coefficienti esatti della quadrica anche se ne possiamo intuire la tipologia.

Ora, io per trovare E facevo le seguenti cose:
1) trovavo gli autovalori k della matrice dei termini quadratici della quadrica
2) inserivo tali autovalori nell'equazione vettoriale per il calcolo degli autovettori associati
3) riducevo con Gauss il sistemino e ricavavo un vettore di base associato all'autovalore
4) univo tutti gli autovettori (basi) per formare la "base spettrale"
5) attraverso Gram-Schimdt ortogonalizzavo e normalizzavo
6) ottenevo la "base spettrale ortonormale" fatta dei vettori che poi (affiancati per colonne) mi davano la matrice E
il problema è che qui il polinomio che vien fuori dalla matrice dei termini quadratici è questo:
$k^3-8k^2+11k+8$ che non riesco a fattorizzare... cioè non ha radici "razionali", per cui non riesco a trovare i k che mi consentono di svolgere il procedimento su descritto per controllare che E sia invertibile e non ortogonale.

Come faccio? Help me!

[mikelozzo]

Up

[NoSignal]

Credo che ci sia un errore: il cambiamento di base che hai effettuato all'inizio non è una rototraslazione: la matrice del cambiamento di base non è ortogonale, pertanto la segnatura potrebbe cambiare.
Inoltre sul wolfram ho trovato che nel tuo polinomio non ci sono radici notevoli.

[mikelozzo]

Credo che ci sia un errore: il cambiamento di base che hai effettuato all'inizio non è una rototraslazione: la matrice del cambiamento di base non è ortogonale, pertanto la segnatura potrebbe cambiare.

infatti non è una rototraslazione cartesiana. Lo specifica il libro stesso. E' come se fosse uno stratagemma per venirne fuori facilmente

Inoltre sul wolfram ho trovato che nel tuo polinomio non ci sono radici notevoli.

è proprio quello il problema, non riesco a trovare i $k$

[NoSignal]

infatti non è una rototraslazione cartesiana. Lo specifica il libro stesso. E' come se fosse uno stratagemma per venirne fuori facilmente

Ma se la segnatura cambia non puoi affermare di che tipo di quadrica si tratta