GEOMETRIA DEL PIANO

-Determinare l’equazione dell’ellisse avente fuochi in F1(0 ; 0) e F2(3 ; 3) e passante per P(3 ; 4).

Purtroppo non so assolutamente come muovermi, dato che il nostro professore non ci ha spiegato molto riguardo ellissi ruotate...

Si deve applicare la definizione di ellisse come luogo dei punti del piano tali che la somma delle distanze di
ciascuno di essi da due punti fissi ( detti "fuochi") è costante. Nel tuo caso, chiamando $Q(x,y) $ il generico
punto dell'ellisse, deve essere:
$QF_1+QF_2=PF_1+PF_2$
Fatti i calcoli ( che demando a te ) dovresti trovare la seguente equazione per l'ellisse richiesta:
$3x^2-2xy+3y^2-6x-6y-9=0$
[Controlla i calcoli perché in quanto ad errori e distrazioni sono un ...campionissimo! )

Si i calcoli sono giusti, ti ringrazio!
Ma invece, se al posto del punto dato avessi la retta tangente all'ellisse(il cui punto della tangenza non è esplicitato), sempre con i fuochi già dati? Io ho provato sempre con la formula che implica la costanza per la distanza tra il punto e i fuochi, ma non riesco ad andare avanti...

Il procedimento può risultare faticoso per i calcoli che occorre fare ma non trovo soluzioni alternative.
Scrivi l'equazione del punto $Q$ ( indicando con $2a$ l'asse maggiore dell'ellisse che è incognito):
$QF_1+QF_2=2a$
Fai tutti i calcoli sempre lasciando $2a$ imprecisato. Successivamente metti a sistema l'equazione che
così trovi con l'equazione data della tangente. Dal sistema elimini una delle incognite ( la $x$ o la $y$, come
meglio conviene) e ti trovi un'equazione di secondo grado. Di tale equazione imponi la condizione di tangenza
ovvero annulla il discriminante e risolvi l'equazione ottenuta rispetto all'incognita $a$.
Una volta conosciuto $a$ e quindi $2a$ il più è fatto: devi solo utilizzare di nuovo la definizione di ellisse.