polinomi a coefficienti razionali

[zimp]

Buongiorno a tutti!

Perché l'insieme dei polinomi a coefficienti razionali è numerabile?

(non sono sicuro che questa sia la sezione giusta, ma mi era stato richiesto in un esercizio di topologia...)

[Bremen000]

Direi che l'insieme equivale a $\mathbb{N} \times \mathbb{Q}$ ed essendo il prodotto finito di insiemi numerabili è numerabile.

Dico così perché un polinomio è determinato dalla scelta dei coefficienti da dare alla varie potenze della variabile e dunque un singolo polinomio è identificabile come una successione a valori razionali, l'insieme delle quali ha la medesima cardinalità dell'insieme sopra citato.

[zimp]

Grazie per la tempestiva risposta.

Il mio dubbio allora si tramuta nel chiedere perché l'insieme delle funzioni da $NN$ in $QQ$ sia numerabile.
Ho studiato nei corsi precedenti che l'insieme delle funzioni da un insieme finito $A$ di cardinalità $a$ a un insieme finito $B$ di cardinalità $b$ ha $b^a$ elementi e non $ab$... Non mi spiego quindi perché l'insieme delle successioni ad elementi razionali $QQ^NN$ sia in biezione con $QQ xx NN$...
Illuminami, ti prego!

[Bremen000]

No probabilmente ho detto una scemenza:

Sia $P^n$ l'insieme dei polinomi a coefficienti razionali di grado minore o uguale a $n$.

Sia $P$ l'insieme dei polinomi a coefficienti razionali.

E' chiaro che $P= \bigcup_{n=0}^{\infty} P^n$. Sia $f$ tale che:
$$f: P^n \to \mathbb{Q}^{n+1}$$
$$a_0 + a_1x + \dots a_nx^n \mapsto (a_0, a_1, \dots , a_n)$$

Tale funzione è iniettiva e inoltre $|\mathbb{Q}^{n+1}| = |\mathbb{Q}|$.

Ma allora anche $|P^n| = |\mathbb{Q}|$ ed essendo $P$ l'unione numerabile di insiemi numerabili è numerabile.

Spero sia chiaro!

[zimp]

E perché l'unione numerabile di insiemi numerabili è numerabile?

[Bremen000]

Sia $X_i \quad , \quad i \in mathbb{N} $ una collezione di insiemi numerabili.

Sia $X:= \cup_{i \in \mathbb{N}}X_i$; è chiaro* che $|\mathbb{N}| \le |X|$.

Esistono dunque $\Phi_i : \mathbb{N} \to X_i$ applicazioni biuniovoche.

Definiamo $\Psi(m,n) := Phi_m(n) \quad \quad Psi : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to X$ che è chiaramente* suriettiva.

Allora $|\mathbb{N}| \le |X| \le |\mathbb{N} \times \mathbb{N}| = |\mathbb{N}| $.

Allora* $|X| =|\mathbb{N}|$.

Dove ho messo l'asterisco ci sono dei risultati che credo siano intuitivi anche se per essere rigorosi andrebbero dimostrati, i primi due asterischi sono facili da dimostrare, l'ultimo francamente non mi ricordo come si dimostra.

[zimp]

Perfetto!!!

Grazie mille dell'aiuto

[Stickelberger]

Alternativamente:

Per $n\in NN$ sia $P_n$ l'insieme dei polinomi di grado $\le n$ con coefficienti
razionali con numeratori e denominatori di valore assoluto $\le n$.

Per esempio, $P_1=\{0, \pm 1, \pm X, \pm 1\pm X\}$.

Per ogni $n$ l'insieme $P_n$ e' finito. L'insieme $QQ[X]$ di polinomi con
coefficienti in $QQ$ e' l'unione degli insiemi $P_n$ ed e' quindi numerabile.