Voglio dire, molti lo danno per scontato dicendo che semplicemente, essendo A simmetrica e dovendo quindi esserci almeno un autovalore reale, esisterà un autovettore. Fin qua ci sono, ma chi mi assicura che sia in V? Potrebbe benissimo essere in R^n, ma fuori da V!
L'unica dimostrazione che ho trovato è quella del Lang, ma è strana! Cioè, dice "[...] che abbia X come vettore delle coordinate rispetto alla base fissata". Però X è di n coefficienti, mentre la base di V non ha necessariamente n vettori!
Segue la dimostrazione che ho trovato:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Lemma: Sia V uno spazio vettoriale sul corpo reale, di dimensione finita e maggiore di zero. In V sia dato un prodotto scalare definito positivo. Se A: V ---> V è un'applicazione lineare simmetrica, allora possiede in V autovettori non nulli.
Dimostrazione: Fissiamo in V una base ortonormale. Allora, rispetto a questa base, A è rappresentato da una matrice reale simmetrica. Se X è un autovettore non nullo di A in R^n, allora l'elemento v di V, avente X come vettore delle coordinate rispetto alla base fissata, è un autovettore non nullo di A in V.
Dimostrazione: Fissiamo in V una base ortonormale. Allora, rispetto a questa base, A è rappresentato da una matrice reale simmetrica. Se X è un autovettore non nullo di A in R^n, allora l'elemento v di V, avente X come vettore delle coordinate rispetto alla base fissata, è un autovettore non nullo di A in V.
Potete, per favore, darmi una dimostrazione semplice per capire il senso di quanto scritto sopra, o comunque capire come mai negli endomorfismi che operano in sottospazi di R^n è garantita l'esistenza di autovettori?
